前面介绍过一期在STM32中进行傅里叶变换的教程，我们成功的对一段信号进行了傅里叶变换，获得其频率谱。


同样的，我们也同样介绍了双边频谱：FFT的结果是一个双边频谱，他不仅仅包含了实数的频谱也包含了负频率的频谱。
( L8 v$ ~, Z  q: \6 s; f
我们的采样长度为FFT_Lenth，同样的傅里叶变换的长度也是FFT_Lenth，而由于双边频谱的存在，我们的FFT结果数组长度是2*FFT_Lenth，并且通常直流信号会被统计两次。
( S- F% y* p* b  S1 O
事实上对于我们的时域信号而言，我们采集到的数据仅仅只是实部信号（虚部信号之所以叫做虚部信号也正是因为在复平面上）。


$ }' ~, A) L* }# o3 u; {. ^: w- T
* P! [# A( H6 N' |在大名鼎鼎的火柴人数学中也体现了这一点。
3 D$ `9 X3 n9 _6 V* ]' ^
5 G9 Q9 y1 ^0 ?4 r: W& I! \  t

7 v5 c, t1 h! b& H( ~! F3 ]8 n而真正的信号应该是一个在复平面上的合信号，但是对于我们而言虚数轴上并没有什么意义。

7 N% _" x0 [6 r, \; N因此我们在计算FFT的时候也会主动的不向原始信号虚数轴上填充数据。
3 A& t5 |1 D) D( O4 G9 {( _

1.     for(int i=0; i < FFT_LENGTH; i++)
   # S2 N; \3 N3 v, U
2.     {
   9 g: Z9 u+ W" {  i* H
3.       FFT_InputBuf[2*i]=(ADC_1_Value_DMA )*3.3/4096; //实部
   ( z0 {# f/ Y# i$ Y4 o/ d) `
4.       FFT_InputBuf[2*i+1]=0;          //虚部
   
5.     }

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但是，即便是我们主动的忽略了时域信号中的虚部，但是FFT的结果中依旧包含了负频率的双边频谱
( Y! ]+ l1 x( y1 E( |& u1 e# ~
' m1 e  D; U; D. I' z
1 q+ i3 q+ I1 _
因此，当我们利用得到频谱的时候，通常情况下只考虑他的单边频谱，而负频率通常是不考虑的。
: \$ n4 y7 a+ Q7 |2 q
$ o# Q0 X* t  q# a9 F) m, t/ \, N好了，说了那么多我们还是聊聊我们接下去要干什么，FFT在STM32中的应用有许多文章都在对其进行介绍，但是几乎没有文章有介绍IFFT也就是傅里叶反变换。
6 }" P) w6 Y( V1 E) x
7 Y2 A% m  F: u; _; C也对，通常我们知道的时域信号，我们通过傅里叶变换之后将其转换为频域信号，但是很少有知道频域的情况下对其进行傅里叶反变换，因为首先是应用场合比较少，其次是好像没什么必要。

但是如果我们可以实现傅里叶反变换，那能不能通过对其频率信息的修改，即修改频域的值，实现一种滤波效果。

假如我们的信号采样率为10KHZ即10240，而我们的FFT长度是1024，那么我们的输出数组结果所对应的频率差，即相邻两个数据对应的频率差为10240/1024 = 10HZ
, V0 Z) N8 H8 _* d% t* ]! S

  i- s7 `9 p/ @* M1 ~' v
那么例如我们将FFT的结果中前2*X项赋值为0(因为输出的结果中包含了一个实部数据和一个虚部数据)并且FFT_Lenth~FFT_Lenth*2的值均为负频率。

0 Q) N- V7 t# G这样子我们就可以实现一个X*10（频率差）的一个高通滤波器（低频段被删除了），之后我们通过傅里叶反变换实现还原原始信号。

这里需要注意的是，DSP库中没有给出IFFT的算法，因此我们选用最常见到的累加法求其IFFT的结果。
# H" j% p# c! L$ |" h& g( s
9 x9 \) j3 _5 D

1.     for (int i = 0; i < FFT_LENGTH; i++) {  
   
2.     FFT_OutputBuf = 0.0f;   
   : @0 Y( O" G! j. z$ U1 y$ y
3.     for (int k = 0; k < FFT_LENGTH; k++) {  
   3 b  h* T' x0 R$ R7 O2 K9 [
4.         // 累加复数乘法结果到原始信号  
   ' u/ d& [8 i  i& h8 r: ^: V* j
5.         float32_t phase = -2.0f * 3.1415926 * i * k / FFT_LENGTH; // 计算相位  
   
6.         float32_t real_part = cosf(phase) * FFT_InputBuf[2*k] + sinf(phase) * FFT_InputBuf[k*2+1];  
   9 A( d" K# L6 R1 l1 E! h: ~/ T  \
7.         //float32_t imag_part = -sinf(phase) * FFT_InputBuf[k*2+0] + cosf(phase) * FFT_InputBuf[k*2+1];虚部信号  
   
8.         FFT_OutputBuf += real_part; // 只取实部累加，因为原始信号是实数  
   7 Q, \4 K: K1 W2 m
9.     }  
   
10.   
    
11. }

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' n" X2 ~1 |$ J, I这里不具体介绍原理，总之我们看看效果。
; @. }, G  z6 u% o5 v/ o4 J
- I4 Y' e" v! n  c/ k
7 v& H6 v1 {1 H& T# b# x, j& m将信号采集之后经过FFT变换之后再通过IFFT反变换为时域信号。

  n, m8 P, ]/ S. U0 f6 Z, [这里我们采集了3KHZ的信号并进行了还原，可以看到并没有什么失真。

/ p$ o. l0 ?! p1 V% n! O% b
  A) q/ C- _5 q6 L, p# f/ R8 M. @" \
! g: E1 K8 @+ ?: {2 f2 m三角波的还原，可以看到似乎叠加了一个什么信号，但是不是很明显。
3 i2 Z5 e( e. b8 y$ Z

2 n* ?+ ~- N  e, A. j9 M4 X7 \
调制信号的还原，可以看到信号还原度还是非常高的。

1 H4 x7 d) a: z6 A. V( K. N
4 I) V5 i2 ^. s, J9 z  T  g
两个正弦波，100HZ+500HZ的累加信号，可以看到其还原度也是非常高的。

在这里我们应用一下我们之前的方法，将某个频段的信号去除。
  M/ g# G7 A- |- v2 E9 C0 B
6 x4 _. n" |7 J& K; d

可以看到，我们非常轻松的从500HZ的信号中提取到了100HZ的信号。
! F* V+ W" s5 \  C6 j
1 A- I8 r) |. J2 N; }
1 m' M" U# ^! N8 L  P- S
4 r& k" E0 \/ b  t方波中提取其基波频率。
! e) V& x# E. t

6 |  U3 m& ]* v3 h7 h3 b- L: w
- m- l. k& H. T* a以及还有方波信号的 还原。

并且这个方法 的滤波精度相当之高。



, D! y! }. J: J) \% o; w从一个900HZ叠加1000HZ的信号中将1000HZ的分量去掉。

; Z& V4 Y" @. W* P4 L: S
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