STM32系列之四旋翼（十一）PID公式推导及C语言实现

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《源》发布时间：2017-9-25 16:05

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本帖最后由《源》于 2017-9-25 16:12 编辑

PID对于控制的重要性自然是不言而喻，所以我们应该好好花一番功夫来学习它，今天我们先通过PID公式来了解PID。

一、模拟PID公式

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsBF9.tmp.png

其中：

Rin(t) 是输入量，即期望值；

Rou(t) 是传感器所测实际值；

e(t) 即偏差值，e(t) = Rin(t) - Rou(t)；

u(t)是PID输出,作用于需要PID控制的对象;

从公式可以看出PID之所以叫PID是因为PID公式包括三个部分：

比例环节：file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsBFA.tmp.png

积分环节：file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC1A.tmp.png

微分环节：file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC1B.tmp.png

从公式中我们还可以看出，不管是比例环节、积分环节或是微分环节，都是对期望值与实际值的偏差e(t)，进行计算，这也是PID的一个特点：根据偏差值对被控对象进行调节。

二、模拟PID离散化

为什么要把模拟PID进行离散化处理呢？

因为单片机是数字的，通过在系统时钟的控下对被测量进行采样来工作的，也就是只有采样时刻才能取到有效数据，所以PID得到的输入值只能是离散的，因此需要将模拟PID转换成离散PID。

离散化处理：

（1）位置式PID

方法：积分环节用加和的形式替换，微分环节用斜率替换。

1）我们学定积分的时候，知道求定积分就是求定积分曲线与坐标轴围成的区域的面积，当时间轴无限细分时，所求面积就近似等于积分的值。而无论时间轴再怎么细分它都是离散的，因此可以用求和的方法替换积分环节：

设：采样间隔为T，求KT（K=0，1，2....n）时刻的积分公式就可转换为：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC1C.tmp.png

注：这里的采样间隔就相当于dt，那么积分区域细分后每一份的面积就为长乘以高：T*e(j)。

2）微分就是求导，即斜率，我们知道只要知道两点坐标，就能计算出斜率，KT时刻的微分可转换为：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC1D.tmp.png

根据上面两歩，我们即可推出离散PID公式：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC2E.tmp.png

因为：Kp、Ti、Td、T都为常数，我们用Ki替换求和项的系数，用Kd替换微分项系数，kt简写为k，则可得离散PID公式为：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC2F.tmp.png

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC30.tmp.png

参数整定就是找最合适的Kp，Ki，Kd，因为比例，积分，微分三者是相互影响的，所以，这三个参数可没有那么好确定。

注：上面这个离散PID属于位置式PID，还有一种离散PID，叫增量式PID，接下来进行推导。

（2）增量式PID

增量式PID是根据位置式PID推导出来的，求增量式PID方法：file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC31.tmp.png。

将位置式公式带入file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC32.tmp.png，并用k-1替换k，得：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC43.tmp.png

则由file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC44.tmp.png得增量式PID公式为：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC45.tmp.png

简化可得：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC46.tmp.png

通过观察位置式PID和增量式PID，我们发现位置式和增量式PID的区别在于：

1）位置式PID的积分项与过去的所有偏差值相关；

2）增量式PID只与e(k)、e(k-1)和e(k-2）相关。

三、PID有什么作用？

我们根据PID的系统框图来理解PID:

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC47.tmp.jpg

完整的PID是由比例环节、积分环节以及微分环节构成。通过对期望值与实际值之差进行比例、积分、微分运算，最后输出一个控制量作为被控对象动作的依据。

1）比例环节P

比例环节P，就是把偏差值乘以一个系数，放大偏差的幅值，让被控量以更快的速度达到我们设定的期望值，只要产生偏差，比例调节就立即起作用，减少偏差，所以比例环节是最灵敏的，也是其主要作用的。

当系统稳定后，纯比例调节会存在一个稳态误差，就是与我们的期望值还存在一定的偏差，为什么会这样呢？

我们从下面的图中还可以看到，P调节过程中当P的参数太小，稳态误差会很大，当P的参数过大时，又会出现很大的超调量。稳态误差总会存在，它不能利用纯比例调节消除，只是根据P的参数的不同，稳态误差的大小也不同。图中红色的曲线是最合适的。

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC57.tmp.jpg

2）积分环节I

从上面我们知道，纯比例调节不能消除静态误差，那有什么办法可以解决呢？

解决办法就是增加积分环节。积分项的作用就是使系统消除稳态误差,提高无差度。因为有误差,积分调节就进行,直至无差。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。所以当系统存在稳态误差时，可以加入积分项进行调节。

比例加积分（PI）控制，可以使系统进入稳态后无稳态误差。

3）微分环节

微分作用对误差的变化趋势很敏感，能够在误差信号出现之前就起到修正误差的作用，有利于提高输出响应的快速性，减少被控量的超调，增加系统的稳定性。之所以微分作用有这样的作用，我们也可以从纯微分阶跃响应曲线上看得出来：

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC58.tmp.jpg

图中，x0是期望值，标1的粗线表示实际值，标2的粗线表示波动幅度，TD表示微分时间。

从图中我们可以看到当实际值突然变大时，波动幅度变大，也就是偏差值e(t)变大，达到KD，但马上便会回归原来的状态，即保持原来的误差衡定不变。

综上而述：比例环节用以消除当前误差，积分环节用以消除历史误差，微分环节用以消除误差变化，保证误差衡定不变。且P是系统中的核心，I为辅助，D在三个环节中是权重最小的。

四、什么时候用位置式PID，什么时候用增量式PID?

通过对比位置式PID公式和增量式PID公式，我们会发现，位置式PID公式带有积分项，而增量式PID公式没有带积分项，而什么时候用位置式PID，什么时候用增量式PID，是根据执行元件是否带积分部件来决定的，若带积分部件则使用增量式PID（增量式PID没有积分项），若不带积分部件，则使用位置式PID（位置式PID带有积分项）。

那什么是带有积分部件，什么是不带积分部件？

带有积分部件就是指执行元件有记忆性，能够记录此次的运行状态，比如步进电机，当给步进电机一个脉冲后，在下一个脉冲到来前，它都会保持在这个位置。而直流电机就是不带积分部件的执行元件，它没有记忆性，给一个脉冲，它的位置不会保持在一个固定位置，它会因为惯性继续转动。

举例：我们如果做平衡小车，电机既可以选直流减速电机，也可以选步进电机，如果我们选择的是直流减速电机，就使用位置式PID进行控制，如果选择步进电机，则使用增量式PID进行控制。

五、位置式PID、增量式PID算法的C语言实现

以位置式PID为例：

1）定义PID变量结构体

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC59.tmp.jpg

2）变量初始化

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC6A.tmp.jpg

3）编程实现PID算法

file:///C:\Users\dell\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsC6B.tmp.jpg

4）对算法进行验证