ST公司的STM32F411discovery开发板，就如何实现浮点FFT运算做个简单应用示例，并给些应用提醒。下面用到的IDE是ARM MDK。


% C2 V3 g5 P( `; `) @因为要用到ARM公司提供的DSP库，所以需先开启一些必要的宏开关并添加相关库文件。STM32F4芯片支持DSP指令且自带浮点运算单元即FPU。
$ x2 _8 ~- l7 D

2 m1 c% r$ \* w% v0 Z$ S. T4 X在MDK集成开发环境的相关配置栏添加__CC_ARM,__TARGET_FPU_VFP,ARM_MATH_CM4，并启用了硬件FPU。
7 {+ X; U4 m- x: r  H

9 U  }) [  ^! V, N4 J


$ k2 y$ ?2 s; L! E$ Y添加ARM提供的DSP库文件。如果使用STM32Cube库的话，该库文件一般在这个目录下【以STM32F4cube库为例】，有4个库文件。



; k- u% m3 [  F3 I. @
9 P/ E  a: N. v: D/ c  H; A, P4 [- K
8 K3 K7 M3 T: ^/ i# V其中cortexM4b是基于大端存储模式但不支持硬件FPU时所用的DSP库文件，cortexM4l是基于小端存储模式但不支持硬件FPU时所用的DSP库文件。而cortexM4bf是基于大端存储模式且支持硬件FPU的芯片所用到的库文件，显然，cortexM4lf是基于小端模式且支持硬件FPU的芯片所用到的库文件。

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4 u0 t* k: Z: {; _6 A; h; f这里我们添加arm_cortexM4lf_math.lib即可，STM32芯片采用小端存储模式，且STM32F4内置FPU硬件单元。
) c! b. G( B3 A, o$ O" I4 s. v% N
( z3 F# i: E9 f9 u2 k& j. v8 |9 x& _
这里提醒下，首先，DSP库不要选择错了。其次，在添加.lib库文件时，添加时注意选择文件类型为lib。如果以别的文件类型强行添加进去后，编译可能提示出错。有时一会半会还找不到出错原因。



$ \$ O  m5 N6 D( L/ w4 Z1 M

* Q- D( h8 e" n* E, I另外，我们还需在用户代码里添加包含文件：#include"arm_math.h"。至于其它头文件按需添加即可，比方math.h头文件。

4 |0 q+ B. M: V, z! r: u
; }( n! c, i" ^) z/ C3 F( d下面开始看看具体的代码实现。
: l6 S+ U( b. G8 p0 ^* i2 K
7 V! s  G1 a# X( N1 p! L
8 m+ Z  e% Q% {( t9 R先做基本变量的准备及定义，比如用于FFT运算的点数，用于FFT运算的输入数据数组，输出数据数组、存放各频点初始相位的数据数组等。





这里使用几个正、余弦信号函数叠加产生一组信号序列。其中，有一个幅度为3的直流分量。另外几个分别是频率为200Hz、400Hz、600Hz、800Hz、1000H，幅度值分别是1、2、4、8、16的正、余弦信号函数。各输入数据项的虚部均设置为0。



5 O- P, W& ~1 i) T
; V; T$ c- ~$ F
- m8 A/ E: i- v这里假设采样频率Fs=5120Hz，期望的最小频率分辨率为20Hz，则最小采样点数不要少于5120/20，即这里选择256点。【如果希望频率分辨率更高，可以加多采样点数】。

% W2 t; E5 ^$ r
其中，采样频率不得低于最高被采样信号频率的2倍。关于这个采样频率及采样点数的选择给几点提醒供参考：
, o" c, Y, e3 a6 k7 {3 z

8 k& M* |5 P: P3 D1、采样点数它往往有个最小值需求，由采样频率和所期望的最小频率分辨率决定。


6 C6 i  ^2 l6 ]2 i% ]0 X) U2、整体上讲，增加采样点数有利于提高频率分辨率或改善运算结果。不过，增大样点数时既要考虑它对计算速度影响，同时还得考虑对微处理器内存的开销。比方128点和1024点的内存开销差别就较大了。
) _) n$ J8 w: R! y/ V/ X
1 B( t9 S) [7 g) k3 b& f0 X
2 T2 U7 v5 [. u6 e; ^" T% r3、在选择采样点数时，除了考虑满足最小值要求外，还得结合具体选用的FFT相关函数类型，比方说是基4还是基2的。如果使用基4的FFT运算函数，则样点数须满足4的整数幂。如果使用基2的FFT运算函数，则样点数须满足2的整数幂。

1 S# {; C, ]5 @0 ~
4、具体到使用ARM的DSP库函数进行FFT运算时，还得遵循函数本身所支持的样点数约定，并不是你想多少就多少。比如，以下面函数为例：
2 S  G  T2 U$ O/ L5 x
/ h, @# b# M3 R; A
( v9 N* j" y/ `8 A: O
) k: Z, F7 }. ^% c. U( U
& g  m" U7 H* m  S+ X% {9 f
基于上面FFT函数，如果你使用128点、512点、甚至高于1024点都不支持，或者说计算结果误差很大。【当你点数选择不当时，编译时目前是没有任何提示的。】
+ u; \7 J) D: G4 E* W6 w3 Y5 D
" `( f& q/ C+ G8 Q
+ j( S$ F& f3 f* n5、有些场合为了满足FFT运算要求，计算所需样点数可能多于实际数据量，这时我们在数据序列尾部补零凑齐。比方经过评估希望512点，结果实际数据才500个点，我们可以考虑补零以便于计算。这样做可以减小栅栏效应，但不会提高实际频率分辨率。

& G6 y: r+ j9 P: W
  E) |( k5 S. P# I, E7 D6、采样频率要满足不低于最高被采样信号频率的2倍的要求，但并非单纯的越高越好。一般取其3~6倍，具体应用时合理选择。
: W9 @2 c/ O& p9 l
# K( h  A8 J+ n2 ^2 N- a: r8 |
& L6 @6 }! r  T% t$ A8 U关于采样点数的拟定就提醒这些，尤其上面的第3点、第4点，在使用相关函数时，最好看看函数原型说明。【注：我们在PC端使用诸如Matlab、Octave等数学工具时样点数往往可以做到比较随意、自由。】

2 i" q( o- Q' N5 P' T4 |
- }8 r5 M# b: O+ n好，基本数据准备工作做完了，下面就是调用几个函数来完成FFT运算工作。
: T% D" a) p- L, m# M
2 i! M( f" A; I9 l: W



9 {- z: B0 O. D! r运行相关代码后，我们可以看到不同频点所对应的模值。

, X2 R8 m+ r8 A  W7 a; E) _
对于直流信号，其对应的频点位为0，计算出来的模值是其实际幅度的N倍，【N即FFT运算用到的样点数，这里就是256】，其它非直流频点的模值经FFT计算后的结果为实际幅度值的N/2倍。

  t1 X: W( @+ E4 B( s9 L8 b! ?
我们可以先使用Matlab或Octave模拟一下输出结果。下面是用Octave模拟出来的结果。

5 ^0 P0 x  m2 X" I1 G  U( m
& \, l! z4 g  ?' u" ]' L: e6 F
! s! {2 [* M% F
$ n4 Y* \! r5 C
; z: v( E2 k' E/ ?! m5 p2 G# r5 {因为经过FFT运算后的输出结果由对称的两部分组成，我们只需查看前面半部分即可。
2 G1 B; U  H, Y0 k2 L6 u4 ^; ^0 c
7 C$ \: i1 q/ z/ b
如下图所示：
& ]# ^0 u! N: A$ E


5 W0 h" ~# X% r

因为采样频率是5120，采样点数为256，即每两个采样点的频率间隔为20Hz.我们不难从上图看出直流分量0Hz以及200Hz、400Hz、600Hz、800Hz、1000Hz几个频点信号的位置及模值。图中0点位处所对应的模值就是直流分量的模值。因为各点位的频率间隔为20Hz，所以图中点位50处所对应的模值就是原信号中1000Hz余弦信号的模值。【前面提过了，FFT计算所得模值跟各频点信号实际幅度值还有个对应关系】
& R. G8 S# Y1 ~6 J7 _
0 w0 Z+ L: Y: \1 M* V
2 _( k8 y, B1 ]8 ?0 y我们再来看看经过STM32F4芯片进行FFT运算后的实际结果。计算后各频点的模值存放在数组fft_output[256]里，我们可以进行查看、比较。不难理解，如果点数越多，数组数据量也就越多，看起来并不太直观方便。我这里将FFT输出结果按照频点顺序在调试界面周期性地显示出来，如下图所示。其中，红色波形是信号频谱及模值，绿色斜线是频点递增变化曲线。
4 H8 E& s% O! \2 E5 m' x4 }9 y


1 _% g5 S8 P, w9 q

' _8 E, G" K; P9 e- w6 C1 _同样，我们只需查看FFT完整输出的前半部分结果。


, H2 q- L2 ?2 d& l% m
8 _8 e& u+ H# x( G/ I3 g6 Z
; ?& @/ e( D/ a- H
这里的零点处所对应的模值就是直流分量的模值，理论值应该为3*N，即3*256=768，实际计算结果也是768；其它5根线分别对应200Hz、400Hz、600Hz、800Hz、1000Hz这几个频点信号的模值。在显示界面轻点鼠标即可看到各处的频点位置及对应的模值。
1 d/ t/ j, p# b3 E
" s4 m; a/ {- `6 ~: Q
5 i) y( ]  u  `; B  I# G; _* H当然，我们也可以到经FFT运算后的输出数组里去查看数据，相比之下，只是没有这么直观快捷。【下图是部分数据截图】
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; k. K* J9 a1 {# p' h  C( e

/ T- ]" E6 D' L$ n0 Z

另外，我们还可以看看各个频点信号的初始相位值。同样，我们也可以先用Octave模拟运算结果。基于数学工具的运算结果如下：
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6 ]+ t- N  c2 d- h; h% m" u* d



. @; n% e; X0 }% C" ~) a8 u我们再看看基于STM32F4芯片的FFT计算结果：
* N" i; ~: q$ p5 U2 `5 M1 w4 u
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9 \* O( \- @7 C6 m. ]) E+ v& N
: x8 h! C& \- u) a# X% Y4 m( D

这里提醒下,初始相位的计算结果是按照余弦函数计算的，所以如果使用正弦函数产生的信号的话，就涉及到一个三角函数的转换关系sinx=cos(pi/2-x)，经过转换后所得的余弦函数的初始相位值跟计算结果就一致了。

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9 S6 V, p6 g7 N$ Z" e; X整体上，基于上面的参数所得FFT计算结果，跟理论值还是非常一致的。不过，要提醒的是，即使对于同一个被采样信号，因选取了不同的采样频率和采样点数做频谱分析时，可能会出现不同程度的误差。所以，为了减小误差，我们要选择合适的采样频率与采样点数，更多细节可以查看相关资料。

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