一战封神的 0x5f375a86

雷神之锤3是一款九十年代非常经典的游戏，内容画面都相当不错，作者是大名鼎鼎的约翰卡马克。由于当时游戏背景原因，如果想要高效运行游戏优化必须做的非常好，否则普通人的配置性能根本不够用，在这个背景下就诞生了“快速开平方取倒数的算法”。
- ?4 V/ V; Z5 D3 m4 K+ E8 }
在早前自雷神之锤3的源码公开后，卡马克大神的代码“一战封神”，令人“匪夷所思”的0x5f375a86 ，引领了一代传奇，源码如下：

1. 
   " L/ S9 u/ l% C" D5 I: E: R
2. float Q_rsqrt( float number ) {
   . w% Q7 m. M9 e2 E5 q+ o& M
3.     long i;
   
4.     float x2, y;
   3 U3 \% [; h, I4 J( H
5.     const float threehalfs = 1.5F;
   + S& x$ Z; H) F6 C
6.   x2 = number * 0.5F;
   
7.     y   = number;
   
8.     i   = * ( long * ) &y;
   " t7 q1 \& d8 c) J
9.   // evil floating point bit level hacking
   + G& [7 U, P- J6 ~/ q4 i* r7 J
10.     i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
11.     y   = * ( float * ) &i;
    : W) I3 B1 ^% [4 {( n5 i
12.     y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
13. // 1st iteration
    ( [) ~% a) N, t
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
15. // 2nd iteration, this can be removed
    
16.   #ifndef Q3_VM
    7 Z, ^4 o3 B3 N2 Q; f, t8 I
17.     #ifdef __linux__
    4 Y0 o$ F1 Q- o9 M" i6 c+ K! t) E+ a
18.       assert( !isnan(y) );
    ; s+ [! @: e) P- x& L0 I
19. // bk010122 - FPE?
    0 G1 y/ j+ K& x: S% F% k; u% ^7 I
20.     #endif   
    
21. #endif   
    
22. return y; }

复制代码

相比 sqrt() 函数，这套算法要快将近4倍，要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！

& f1 k9 L7 l8 x9 x" @

牛顿迭代法的原理是先猜测一个值，然后从这个值开始进行叠代。因此，猜测的值越准，叠代的次数越少。卡马克选了0x5f3759df这个值作为猜测的结果，再加上后面的移位算法，得到的y非常接近1/sqrt(n)。这样，我们只需要2次牛顿迭代法就可以达到我们所需要的精度。

函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
" x( n$ y6 b. P( o/ ?

注意到这个正数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代，直接运算)。编译、实验，这个团数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！
% t* o; Y1 K% {: @! i+ y3 C4 J2 [4 l
这个简洁的定数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了what the fuck的一句 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 )；再加上y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )。

两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。

算法的原理就是使用牛顿迭代法,用 x-f(x)/f'(x) 来不断的逼近 f(x)=a 的根。

求平方根：f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x, f(x)/f'(x)=x/2,把 f(x) 代入 x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2，

现在我们选 a=5,选一个猜测值比如 2，  那么我们可以这么算  5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = ……  这样反复迭代下去，结果必定收敛于 sqrt(5)。

; x9 i% R; m0 P+ `; ~

但是卡马克作者真正厉害的地方是他选择了一个神秘的常数 0x5f375a86来计算那个梦“值，

5 _$ D4 `  g" w4 F& s" P# C$ W$ N8 k# c- y就是我们加注释的那一行那行算出的值非常接近1/sqrt(n)这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
5 }. F& N3 t$ b8 N' Y/ o6 h% b
当然目前也已有翻译过C++语言的版本：
. w9 W+ j: R) R+ C

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number )
   
3. {
   " U5 j5 l) U$ F1 D7 ]2 j% R
4.     long i;
   : g7 N% H5 b0 Z/ m
5.     float x2, y;
   
6.     const float threehalfs = 1.5F;
   . Z( {6 Z. Q. m+ n- s" o
7. 
   . d8 ?+ t" a; n! W
8.     x2 = number * 0.5F;
   & T% L9 l2 ?9 k, h
9.     y  = number;
   
10.     i  = * ( long * ) &y;
    
11.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
12.     y  = * ( float * ) &i;
    0 R6 H/ {" O. O7 S
13.     y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
    
15. 
    
16.     #ifndef Q3_VM
    6 i' H$ z- g& v- L
17.     #ifdef __linux__
    
18.         assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    ( E1 H6 X6 H+ h$ r
19.     #endif
    
20.     #endif
    
21.     return y;
    - }) M# U: R6 c3 k* \
22. }

复制代码

4 x# K4 q5 z7 t4 M/ S2 ]: j; N

当然，更加魔幻的是，普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，但也不服气，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。

) B5 F; s1 h* m! \- y, X

在精心研究之后，Lomont从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了...

0 }3 O9 [* Y  b; k3 J

Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

囊括世界万物的一段代码

) s' }% t1 ~6 G

这是一段使用Processing语言的代码，这短短的几行代码永无休止的就在做一件事——“穷举”。那么它又有什么特殊之处吗？

忽略机器本身的性能限制，假设 frameCount 可以无限大（frameCount代表当前帧数）。只需安安静静地盯着屏幕，就可以看到所有像素的所有组合可能。

7 s8 z( ~; u; q) R" o

这意味着你可以在上面看到所有艺术大师的作品，蒙娜丽莎、向日葵甚至是初音……人类历史上所有光辉的瞬间都将闪现在眼前。

  s% D6 M$ |" b* H

但是这又需要多久时间呢？计算机里的每个像素都是由 256 级的 RGB 组成的。因此可以表示 256 ³ （1600万）种颜色。假如图形的分辨率为 1000 × 1000，所有的像素可能的色值相互组合，将会产生 256 的 3000000 次方张不同图片。

/ H% W* z( P* b' i' t" ^

如果将图片排在一个长廊上，人以一秒一张的速度去浏览。由于一年有 31536000 秒，因此要走完这条长廊，就需要 10⁷²²⁴⁷¹² 年。

这个数字已经大得很难用人类的常用单位去表示了。硬是要用，那就是 10亿亿亿亿亿亿......年（90万个亿）。要清楚，宇宙的年龄也仅仅是 140 亿年（1.4 × 10¹⁰年）。。

这也意味着，即使你从宇宙大爆炸看到现在，也无法将这个程序看完。但如果把图片像素的精度降低呢？用 100 × 100 的分辨率并且只用黑白二值去表示图形？此时总数就会缩减到 2⁷⁰⁰⁰⁰ ，也就约等于 10³⁰¹⁰。

看似缩小很多了。如果同时动用全人类的力量，将这个任务分配给70亿人。每人还是要不眠不休地看上 3.17 × 10³⁰⁰² 年，才能看完。

即使化到最简，结果仍是大得恐怖。但如果能看完，我手上说不准会有一张 100 × 100 的HelloKitty头像，他手上或许能有一张爱因斯坦吐舌头的照片。

可以用这么简洁的形式去展现万物，用近乎无限的时间去换取无限的可能，我觉得这就是这段代码的魅力所在。

1. 
   : E4 M, d  R9 i% i  \, b
2. void setup(){
   
3. size(500,500);
   
4. }
   : x: H' n1 N( r/ O2 ^
5. void draw(){
   
6. for(int i=0;i<width;i++){
   7 g; o9 a( b& \
7.    for(int j=0;j<height;j++){
   , O5 }8 D. p. E4 ]0 g3 D3 ?
8. stroke(frameCount/pow(255,i+j*width)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+1)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+2)%255);
   + m/ x9 R/ W3 x- G
9.      point(i,j);
   
10.    }
    
11. }
    
12. }

复制代码

; |) H+ b3 I! t3 G1 z- _

这段代码也有5x5的精简加速版本，当然其中的参数也是可以任意修改的，代码如下：

1. 
   
2. int num,w,frame,level;
   
3. 
   
4. void setup(){
   * N3 U" {- A% Z! [" I* Q
5. size(400, 400);
   8 Q/ F0 k6 Q% n" s. i" }% L
6. num = 5;
   
7. w = width/num;
   
8. level = 2;     //色值精度
   2 @9 e& y/ t) @2 r+ v
9. }
   
10. 
    3 F; q' ?, [' j( J4 h; [) `
11. void draw(){
    
12. for(int i = 0; i < num; i++){
    7 V# u; J7 ~) f/ }3 X! y! k
13.    for(int j = 0; j < num; j++){
    + Y9 f% R: Y8 [" a( j  \) P. V
14.      fill((int(frame/pow(level,i + j * num)) % level)* (255 / (level - 1)));
    
15.      rect(w * i, w * j, w, w);
    # g- j7 T. V. i! J7 s5 @; D2 Z0 F% \
16.    }
    
17. }
    : g( T6 i# ?5 ^$ D6 d; }
18. // frame++;                       匀速播放  
    
19. frame = int(pow(frameCount,2));   //加速播放
    0 M1 @! d3 N) E$ x
20. }

复制代码

0 s- X- ?8 K. z  i& P$ h& N

只有13个字符的Linux Fork炸弹

$ d0 r$ X6 m. q: L  {; c3 m5 e% b

早在2002年，Jaromil设计了最为精简的一个Linux Fork炸弹，整个代码只有13个字符，在 shell 中运行后几秒后系统就会宕机：
$ V0 R2 E& M$ l8 L  J3 e6 e3 ^

1. :(){:|:&};:

复制代码

这样看起来不是很好理解，我们可以更改下格式：
5 c9 [9 r; J# ?) Z' h* Q2 s

1. 
   
2. :()
   4 a5 A- y( @0 Y$ J
3. {
   
4. :|:&
   , {8 Y( J0 T7 k' P$ B) d$ z' }
5. };
   ' _2 V$ `/ @$ K/ S7 b: \& f, X
6. :

复制代码

& w6 a4 \4 b$ ?, Z更好理解一点的话就是这样:

1. 
   
2. bomb()
   4 y* L) R" d# f2 Z5 y/ `, u. B
3. {
   1 B( L  G3 a# L4 a5 m# J5 _: i
4. bomb|bomb&
   , s- w# D. `8 _% ?8 M/ s: q3 j
5. };
   - J5 s. o  O+ R" |4 U
6. bomb
   

复制代码

* W. v0 d" O3 f1 c/ Y因为shell中函数可以省略function关键字，所以上面的十三个字符是功能是定义一个函数与调用这个函数，函数的名称为:，主要的核心代码是:|:&，可以看出这是一个函数本身的递归调用，通过&实现在后台开启新进程运行，通过管道实现进程呈几何形式增长，最后再通过:来调用函数引爆炸弹。因此，几秒钟系统就会因为处理不过来太多的进程而死机，解决的唯一办法就是重启。
1 O5 k, x5 Q! }9 e# C
; ]' S# B, A/ k  N) N当然有“不怕死”的小伙伴用了云主机试了一试：

( F5 @  N) g( ~7 i  p: `+ V

结果，运行一段时间后直接报出了-bash: fork: Cannot allocate memory，说明内存不足了。
. Y  C/ B2 _$ b2 b6 B
2 L+ x2 n7 `5 r4 u; |9 F6 c! Q并且在二号终端上尝试连接也没有任何反应。因为是虚拟的云主机，所以我只能通过主机服务商的后台来给主机断电重启。然后才能重新登录：

当然，Fork炸弹用其它语言也可以分分钟写出来一个，例如，python版：

1. 
   
2. import os
   
3. 
   8 ^- \2 C7 G  ^
4. while True:   os.fork()

复制代码

Fork炸弹的本质无非就是靠创建进程来抢占系统资源，在Linux中，我们可以通过ulimit命令来限制用户的某些行为，运行ulimit -a可以查看我们能做哪些限制：
# p& M" p( h* }" \0 E: L

1. 
   
2. ubuntu@10-10-57-151:~$ ulimit -a
   
3. core file size          (blocks, -c) 0
   + h% \: Q: ~0 A2 T
4. data seg size           (kbytes, -d) unlimited
   
5. scheduling priority             (-e) 0
   " R( {8 X/ }; |9 l. `& [
6. file size               (blocks, -f) unlimited
   $ |9 z5 B. `; M3 M2 f4 j( G1 s
7. pending signals                 (-i) 7782
   
8. max locked memory       (kbytes, -l) 64
   
9. max memory size         (kbytes, -m) unlimited
   * S% p' x5 r9 Z; b
10. open files                      (-n) 1024
    0 q4 u( f( s9 u
11. pipe size            (512 bytes, -p) 8
    
12. POSIX message queues     (bytes, -q) 819200
    . t0 }4 M% P# ?0 b" K
13. real-time priority              (-r) 0
    
14. stack size              (kbytes, -s) 8192
    
15. cpu time               (seconds, -t) unlimited
    
16. max user processes              (-u) 7782
    
17. virtual memory          (kbytes, -v) unlimited
    
18. file locks                      (-x) unlimited

复制代码

/ y% }+ Z) I" E

可以看到，-u参数可以限制用户创建进程数，因此，我们可以使用ulimit -u 20来允许用户最多创建20个进程。这样就可以预防bomb炸弹。但这样是不彻底的，关闭终端后这个命令就失效了。我们可以通过修改/etc/security/limits.conf文件来进行更深层次的预防，在文件里添加如下一行（ubuntu需更换为你的用户名）：

# t5 R* L2 t7 Y3 d2 m6 `" u

• ubuntu - nproc 20
  % ^7 D" m5 s7 ~' q

这样，退出后重新登录，就会发现最大进程数已经更改为20了，这个时候我们再次运行炸弹就不会报内存不足了，而是提示-bash: fork: retry: No child processes，说明Linux限制了炸弹创建进程。

; Z& ^* |- [* E- i

东尼·霍尔的快速排序算法

这个算法是由图灵奖得主东尼·霍尔(C. A. R. Hoare)在1960年提出的，从名字中就可以看出，快速就是他的特点。

快速排序采用了“分治法”策略，把一个序列划分为两个子序列。在待排序列中，选择一个元素作为“基准”（Pivot）。
( i3 T8 }: @8 M. e

所有小于“基准”的元素，都移动到“基准”前面，所有大于“基准”的元素，都移动到“基准”后面（相同的数可以到任一边）。此为“分区”（partition）操作。
( N5 i/ g' O: S- f0 m& ~' @
8 L+ i& E  t7 u分别对“基准”两边的序列，不断重复一、二步，直至所有子集只剩下一个元素。

假设现有一数列：

% H  _; z3 C" v# c4 R( n对此数列进行快速排序。选择第一个元素 45 作为第一趟排序的“基准”（基准值可以任意选择）。
" h( {3 {" {0 n5 O0 u" T

第一趟：将元素 45 拿出来，分别从数列的两端开始探测

首先从右向左开始，找到第一个小于 45 的元素为 25，然后将 25 放置到第一个元素 45 的位置上。此时数列变为：
9 U8 c2 g# l. Q, N" x" B5 Y

: d9 a; b, U0 R% M! V

然后从左向右开始，找到第一个大于 45 的元素为 66 ，然后将 66 放置到原先元素 25的位置上。此时数列变为：

, q9 @1 _# g# c: u3 C; O6 x

) o. V4 R5 y2 f' I# N7 X" f, b

继续从右向左开始，找到第二个小于 45 的元素为 10 ，然后将 10 放置到原先元素 66的位置上，此时数列变为：

$ @* t  w( D$ Q% B, A7 U9 C$ I* D4 {

继续从左向右开始，找到第二个大于 45 的元素为 90 ，然后将 90 放置到原先元素 10的位置上，此时数列变为：

4 I* l+ S: M, `/ ~8 o1 k

继续从右向左开始，此时发现左右碰面，因此将“基准”45 放置到原先元素 90 的位置上，此时数列变为：

至此，第一轮结束，“基准”45 左侧为小数区，右侧为大数区。同样的分别对小数区和大数区应用此方法直至完成排序。

7 D/ C# J* i2 v5 {: w4 ~$ c3 ?

分析完成后通过C++的源代码如下：

4 H! T9 x  r. n6 a% ?

快速排序核心算法：
! C8 S8 e* G# l$ z, F( C

1. 
   5 o: [9 }3 O: \6 A9 n* F; {
2. //每一轮的快速排序
   
3. int QuickPartition (int a[],int low,int high)
   
4. {
   # t4 I2 v7 I) N4 P
5.     int temp = a[low];//选择数组a的第一个元素作为“基准”
   - E+ C7 @6 p: Z2 L
6.     while(low < high)
   
7.     {
   
8.         while(low < high && a[high] >= temp )//从右向左查找第一个小于“基准”的数
   , D. s8 _. H! q5 F: m6 g1 i) `
9.         {
   
10.             high--;
    
11.         }
      |# R# A! E* e+ A
12.         if (low < high)
      @" m% r3 K' }. U, C5 i, w: m
13.         {
    ; R, g3 o* S. I& `  b- C- l
14.             a[low] = a[high];//将第一个找到的大于“基准”的数移动到low处
    & T) m# S! [: J; y
15.             low++;
    ' c2 T0 ?$ T5 e7 c2 x
16.         }
    
17. 
    
18.         while(low < high && a[low] <= temp)//从左向右查找第一个大于“基准”的数
    
19.         {
    9 B1 }( e( _5 w- m1 ]
20.             low++;
    
21.         }
    ; P/ a( X4 S  C! ?- x
22.         if(low < high)
    7 a9 t. j6 l' S+ O* u; ?4 R1 F/ I
23.         {
    
24.             a[high] = a[low];//将第一个找到的小于“基准”的数移动到high处
    
25.             high--;
    
26.         }
    3 q7 k/ ]" M; ^: d5 Q1 y
27. 
      v* K) R( M" t4 }
28.         a[low] = temp;//将“基准”填到最终位置
    - \% C# n& K( k: `; g" p8 H$ r# c' T
29.     }
    2 ~8 D6 e& \0 o4 ?; z& t9 n, _% q, p* ~
30.     return low;//返回“基准”的位置，用于下一轮排序。
    7 C4 y/ h  b# x% V5 B& z0 U- z* \
31. }

复制代码

; v+ m! w( A1 a' W: d3 L; I

递归调用QuickSort（分治法）：

1. 
   + i) o3 a: t9 {2 z2 o# @3 t
2. //快速排序-递归算法
   4 a4 N' U+ S5 o# p7 e' i
3. void QuickSort (int a[],int low,int high)
   
4. {
   6 w7 v9 {8 S! g
5.     if(low < high)
   " B1 m0 Z) ^8 y0 B4 h; t" y
6.     {
   1 C/ x! y% z3 M0 D  ]9 y
7.         int temp = QuickPartition(a,low,high);//找出每一趟排序选择的“基准”位置
   , O) `9 |& |- j9 {
8.         QuickSort(a,low,temp-1);//递归调用QuickSort，对“基准”左侧数列排序
   
9.         QuickSort(a,temp+1,high);//对“基准”右侧数列排序
   
10.     }
    ) a6 [# E/ g0 G5 t1 \5 m
11. }

复制代码

主函数调用：

1. 
   
2. void main()
     k6 [3 ?3 Y4 l+ ]( @$ y8 m
3. {
   
4.     int a[8]={45,38,66,90,88,10,25,45};//初始化数组a
   
5.     QuickSort(a,0,7);
   6 O7 Q( e) h' E: T: o0 o' k, k5 d# z
6. 
   
7.     cout<<endl<<"排序后：";
   
8.     for(int i = 0;i <= 7;i++)
   9 X- e2 _+ e1 `# D$ `; w
9.     {
   # N3 G( R8 f4 s5 {8 f; w8 R
10.         cout<<a[i]<<" ";
    0 s8 T  @; S* Z
11.     }
    
12.     getchar();
    
13. }

复制代码

8 T4 V: P# i) v* m4 K
排序后结果：
6 \4 ~7 }5 t+ P/ f) Z
+ K: Z; ?- P, }9 K

毫无炫技又惊为天人的二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
+ B0 K8 x. Z. F% c- I( W1 Y匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

# r, V7 q2 g3 e; w6 r4 y- ^# i; S

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
& }- j- Y$ ]  d最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
! c& G" A6 j' w2 `3 f, b" h完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
1 }# z: V1 Q1 _' i9 |+ N3 p8 [举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。


基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
( w5 k4 ]% A' x; _: b* F
1 B4 @. {7 @# S3 M" t' a6 G' j5 C
; ^# W# x, t8 P- F& `+ a交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
3 V; v1 g) g) Q$ h; `我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
' @: y: s1 W* ~+ ]

   
) i& Q* {6 w& S3 c这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码：

1. 
   
2. // 顶点、边的编号均从 0 开始
   
3. // 邻接表储存
   
4. 
   5 y# f7 m9 {$ q( h) s
5. struct Edge
   
6. {
   
7.     int from;
   8 P$ S8 Z' |8 ~2 E
8.     int to;
   : u) V0 f/ D. X  Q1 D
9.     int weight;
   & U0 U8 @3 P7 |& L" ~& D& h
10. 
    " d. }) l1 Y( r
11.     Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
    
12. };
    
13. 
    
14. vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    
15. vector<Edge> edges;
    
16. typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    4 K; x, J" \8 s$ g' h! ^
17. int num_nodes;
    
18. int num_left;
    
19. int num_right;
    ( j% P  N4 |, ^2 {+ x- C7 T
20. int num_edges;
    

复制代码

1. 
   & E, x3 Y. j) f- v% M0 c
2. int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
   ' G" w" r# h! n: z( l
3. int check[__maxNodes];
   6 ^7 _. I# ?9 w& s
4. bool dfs(int u)
   0 T+ ?" d- R$ T8 }
5. {
   
6.     for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
   
7.         int v = edges[*i].to;
   
8.         if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
   
9.             check[v] = true; // 放入交替路
   $ ~+ v0 a, o* R* J/ z- B
10.             if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
    6 ?8 m  V, a4 z5 P6 n
11.                 // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
    
12.                 matching[v] = u;
    
13.                 matching[u] = v;
    6 E% y7 f( o6 W/ V
14.                 return true;
    
15.             }
    0 P# x" O8 U1 W  H1 \4 M; A/ D
16.         }
    
17.     }
    
18.     return false; // 不存在增广路，返回失败
    
19. }
    3 i5 g6 W* Z( H! a1 {
20. int hungarian()
    
21. {
    
22.     int ans = 0;
    ) V" ?3 x. y( X& P" i
23.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
    7 m2 D- @' v- ~
24.     for (int u=0; u < num_left; ++u) {
    
25.         if (matching[u] == -1) {
    
26.             memset(check, 0, sizeof(check));
    4 J- I+ O3 l$ ?
27.             if (dfs(u))
    
28.                 ++ans;
    & C( m  b7 W4 e
29.         }
    " G. h/ K) W, [- b$ ?5 j4 M
30.     }
    7 w# Z* F& ~$ p+ j$ k$ ?. t
31.     return ans;
    
32. }<u></u>
    ' }% D1 p6 f: [7 H  ~

复制代码

1. 
   
2. queue<int> Q;
   
3. int prev[__maxNodes];
   
4. int Hungarian()
   
5. {
   
6.     int ans = 0;
   
7.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
   & e- R3 h- ~3 h- ?9 O& r% H( B) X
8.     memset(check, -1, sizeof(check));
   7 ^8 y1 a! O! M9 f9 j8 ~& z
9.     for (int i=0; i<num_left; ++i) {
   + W+ W0 R$ [. |7 }, e* c% S- N
10.         if (matching[i] == -1) {
    
11.             while (!Q.empty()) Q.pop();
    : S& t- u% N& Y/ V; X# Q# E  ?/ S' ], X
12.             Q.push(i);
    
13.             prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
    ! h8 Q4 a1 {$ p0 U  K9 n( R/ h
14.             bool flag = false; // 尚未找到增广路
    
15.             while (!Q.empty() && !flag) {
    7 p8 g: [. n2 {& |- K; b
16.                 int u = Q.front();
    
17.                 for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
    
18.                     int v = edges[*ix].to;
    + Z5 e6 O3 `' M* G0 ?+ Y% _! [
19.                     if (check[v] != i) {
    
20.                         check[v] = i;
    
21.                         Q.push(matching[v]);
    # ~! b5 i3 _7 f$ A0 R
22.                         if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
    
23.                             prev[matching[v]] = u;
      y6 v6 W/ I" I. d
24.                         } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
    4 W( Z5 y7 p( E% B+ t) n6 r
25.                             flag = true;
    - |* z  R* y3 E5 S  E' c8 K2 M% O
26.                             int d=u, e=v;
    
27.                             while (d != -1) {
    8 e- s' k$ `' n  P; ?3 |
28.                                 int t = matching[d];
    ) m' _. p; |2 O0 y. z( T
29.                                 matching[d] = e;
    & v0 I2 u$ P$ Y
30.                                 matching[e] = d;
    ' H8 u/ O% H% X% {6 w
31.                                 d = prev[d];
    . @/ R; b' X: @: q2 R8 |8 X  T
32.                                 e = t;
    1 c6 p0 [$ @. x% [8 u4 C
33.                             }
    
34.                         }
      j: F" F. Y( Z1 ?
35.                     }
    : V! l" V* ]. R1 V; P
36.                 }
    2 n) M7 \1 Y, r8 y# o- {- p# y
37.                 Q.pop();
    9 J  h8 {  |* j1 S) V2 D% y
38.             }
    
39.             if (matching[i] != -1) ++ans;
    
40.         }
    , E0 q  r4 H# Q
41.     }
    6 M( P, ^" b) B0 D' w
42.     return ans;
    
43. }

复制代码

  i5 B9 S$ H1 z6 b& d

匈牙利算法的要点如下

• 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
  ; z/ P. a8 Q* n# N5 h( ~
  • 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
  • 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
    
• 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。
  

性能比较
两个版本的时间复杂度均为O（V·E）。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。补充定义和定理：
& U9 p  b7 x+ y" U最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
; j0 l: d7 }4 u. M- o最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
/ r; `. I- t! t8 v  p2 C定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）定理2：最大匹配数 = 最大独立数定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
: \% \' J! Y5 I5 s

funny， Amazing， Beautiful，

没想到开方函数还有这么段有趣的历史，受教了。