一战封神的 0x5f375a86

% z9 F9 P# z6 u# k1 a- O雷神之锤3是一款九十年代非常经典的游戏，内容画面都相当不错，作者是大名鼎鼎的约翰卡马克。由于当时游戏背景原因，如果想要高效运行游戏优化必须做的非常好，否则普通人的配置性能根本不够用，在这个背景下就诞生了“快速开平方取倒数的算法”。

8 R3 c+ g4 b( Z) Y8 {9 _3 g; P! L0 O在早前自雷神之锤3的源码公开后，卡马克大神的代码“一战封神”，令人“匪夷所思”的0x5f375a86 ，引领了一代传奇，源码如下：

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number ) {
   * M0 j. B1 Z. O1 Q
3.     long i;
     [: r+ n( H* T$ Y0 {6 V, ]* x/ b
4.     float x2, y;
   
5.     const float threehalfs = 1.5F;
   2 I3 X; S1 u2 P3 S1 d
6.   x2 = number * 0.5F;
   
7.     y   = number;
     Q0 I% B% n' D) C0 }. h" w; ~
8.     i   = * ( long * ) &y;
   
9.   // evil floating point bit level hacking
   
10.     i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
11.     y   = * ( float * ) &i;
    
12.     y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
13. // 1st iteration
    
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
15. // 2nd iteration, this can be removed
    # b( [  k- i* m5 l5 }
16.   #ifndef Q3_VM
    
17.     #ifdef __linux__
    4 k* u0 C/ ~6 m$ k2 J, V
18.       assert( !isnan(y) );
    
19. // bk010122 - FPE?
    
20.     #endif   
    
21. #endif   
    
22. return y; }

复制代码

0 k: X0 O0 u2 R5 w3 @" i% B

; R6 a7 u' Y6 u6 y& A

相比 sqrt() 函数，这套算法要快将近4倍，要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！

- v- z# I9 ?: ~7 z

牛顿迭代法的原理是先猜测一个值，然后从这个值开始进行叠代。因此，猜测的值越准，叠代的次数越少。卡马克选了0x5f3759df这个值作为猜测的结果，再加上后面的移位算法，得到的y非常接近1/sqrt(n)。这样，我们只需要2次牛顿迭代法就可以达到我们所需要的精度。

) f" @1 G2 R. Q6 `: _+ d4 l* e) a

函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。

注意到这个正数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代，直接运算)。编译、实验，这个团数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！
: K& e9 u* m& C4 B8 n5 Z) J; Y
$ O9 R* _3 d2 R$ M这个简洁的定数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了what the fuck的一句 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 )；再加上y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )。

两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。
! |0 E$ M2 P% x1 ~/ _7 ?

算法的原理就是使用牛顿迭代法,用 x-f(x)/f'(x) 来不断的逼近 f(x)=a 的根。

2 o( e& G) j2 u% }  w2 e4 F

求平方根：f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x, f(x)/f'(x)=x/2,把 f(x) 代入 x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2，

现在我们选 a=5,选一个猜测值比如 2，  那么我们可以这么算  5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = ……  这样反复迭代下去，结果必定收敛于 sqrt(5)。

1 _4 n! [; P/ h, i& f

但是卡马克作者真正厉害的地方是他选择了一个神秘的常数 0x5f375a86来计算那个梦“值，
5 Z' V9 c: Q+ o1 _% \- @
就是我们加注释的那一行那行算出的值非常接近1/sqrt(n)这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
0 E0 s$ a: V' G3 w, ]
+ ^5 E7 E& O( x0 e& @- s" a: d7 {当然目前也已有翻译过C++语言的版本：

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number )
   
3. {
   
4.     long i;
   
5.     float x2, y;
   
6.     const float threehalfs = 1.5F;
   
7. 
   
8.     x2 = number * 0.5F;
   
9.     y  = number;
   
10.     i  = * ( long * ) &y;
    1 `; d$ D# g. c8 O
11.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
12.     y  = * ( float * ) &i;
    - I. u' |( z; c# N5 b
13.     y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
    
15. 
    
16.     #ifndef Q3_VM
    . K- w% Z! E. C: Z; f
17.     #ifdef __linux__
    
18.         assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    
19.     #endif
    5 _: X5 C6 u8 b: c" [2 Q' A
20.     #endif
    
21.     return y;
    ; l$ F2 ?' r6 K1 B- |5 F: a( c
22. }

复制代码

; m5 g2 s2 `2 \8 A& x( T% e2 W
6 F8 i: X" d2 h+ K! [- S% j$ C0 M3 }' F

当然，更加魔幻的是，普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，但也不服气，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。

在精心研究之后，Lomont从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了...

" d8 `/ l+ O( `; ?

Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。
! e1 I, p- U* t' a

# z$ d  r% h, g3 ?

囊括世界万物的一段代码

" u2 h( ^9 A) g4 p+ ~( \) T! R' ^$ A

这是一段使用Processing语言的代码，这短短的几行代码永无休止的就在做一件事——“穷举”。那么它又有什么特殊之处吗？

忽略机器本身的性能限制，假设 frameCount 可以无限大（frameCount代表当前帧数）。只需安安静静地盯着屏幕，就可以看到所有像素的所有组合可能。

8 j: z# w/ U! C0 C$ U. K+ k

这意味着你可以在上面看到所有艺术大师的作品，蒙娜丽莎、向日葵甚至是初音……人类历史上所有光辉的瞬间都将闪现在眼前。

但是这又需要多久时间呢？计算机里的每个像素都是由 256 级的 RGB 组成的。因此可以表示 256 ³ （1600万）种颜色。假如图形的分辨率为 1000 × 1000，所有的像素可能的色值相互组合，将会产生 256 的 3000000 次方张不同图片。

如果将图片排在一个长廊上，人以一秒一张的速度去浏览。由于一年有 31536000 秒，因此要走完这条长廊，就需要 10⁷²²⁴⁷¹² 年。

) e. y0 P  K; w2 L# d, o9 v

这个数字已经大得很难用人类的常用单位去表示了。硬是要用，那就是 10亿亿亿亿亿亿......年（90万个亿）。要清楚，宇宙的年龄也仅仅是 140 亿年（1.4 × 10¹⁰年）。。

) J& {  a; X) {6 y

这也意味着，即使你从宇宙大爆炸看到现在，也无法将这个程序看完。但如果把图片像素的精度降低呢？用 100 × 100 的分辨率并且只用黑白二值去表示图形？此时总数就会缩减到 2⁷⁰⁰⁰⁰ ，也就约等于 10³⁰¹⁰。

- P6 d: M3 |  s% }( j

看似缩小很多了。如果同时动用全人类的力量，将这个任务分配给70亿人。每人还是要不眠不休地看上 3.17 × 10³⁰⁰² 年，才能看完。

. I+ w, l# Z" _! V0 @

即使化到最简，结果仍是大得恐怖。但如果能看完，我手上说不准会有一张 100 × 100 的HelloKitty头像，他手上或许能有一张爱因斯坦吐舌头的照片。

可以用这么简洁的形式去展现万物，用近乎无限的时间去换取无限的可能，我觉得这就是这段代码的魅力所在。

1. 
   
2. void setup(){
     X; }1 ~: W$ R* A# ?/ d. S" D
3. size(500,500);
   , P& h4 r1 I# L! I9 B
4. }
   
5. void draw(){
   , _7 N8 \4 Y/ i4 @+ }3 F
6. for(int i=0;i<width;i++){
   
7.    for(int j=0;j<height;j++){
   # G0 j0 N" q0 K5 B& Q$ S' W
8. stroke(frameCount/pow(255,i+j*width)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+1)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+2)%255);
   
9.      point(i,j);
   6 K; `8 }6 B& K. Y8 {+ J/ f
10.    }
    
11. }
    
12. }

复制代码

" ~/ ~/ H! {+ O' V& }5 }1 i7 Z; C

1 S  C0 i9 @, X  p3 e" X& {  p) u

这段代码也有5x5的精简加速版本，当然其中的参数也是可以任意修改的，代码如下：

1. 
   
2. int num,w,frame,level;
   
3. 
   
4. void setup(){
   
5. size(400, 400);
   
6. num = 5;
   
7. w = width/num;
     E- B: K' v: G* O
8. level = 2;     //色值精度
   
9. }
   8 c- W. b) T0 S+ N8 S
10. 
      Z  V3 U8 E2 H3 b2 b: a4 E8 o
11. void draw(){
    6 v, b* ^8 v7 ~8 j: N% U
12. for(int i = 0; i < num; i++){
    
13.    for(int j = 0; j < num; j++){
    * a9 V5 D' t9 `4 Z- F
14.      fill((int(frame/pow(level,i + j * num)) % level)* (255 / (level - 1)));
    + A+ y$ ?+ A5 U' ~
15.      rect(w * i, w * j, w, w);
    " `% Q$ Z$ @' ]
16.    }
    8 q: X7 @6 r$ A9 p* Y2 u
17. }
    4 z/ E3 c; J5 H' `
18. // frame++;                       匀速播放  
    
19. frame = int(pow(frameCount,2));   //加速播放
    
20. }

复制代码

& g4 d1 h/ a, {

$ ^- H, {! a' t# d, K

只有13个字符的Linux Fork炸弹
. N+ O( D! c/ S

早在2002年，Jaromil设计了最为精简的一个Linux Fork炸弹，整个代码只有13个字符，在 shell 中运行后几秒后系统就会宕机：
! f; I9 M" u! T5 z$ o

1. :(){:|:&};:

复制代码

这样看起来不是很好理解，我们可以更改下格式：

1. 
   / V# e4 @- V( N4 X, X1 F! S
2. :()
   + ^& Q! H5 s+ u$ |
3. {
   
4. :|:&
   
5. };
   
6. :

复制代码

4 J5 g) D) a+ |* r
更好理解一点的话就是这样:

1. 
   , Y/ W1 I6 [5 K/ E9 B! `
2. bomb()
   
3. {
   3 j1 Z+ u$ y/ I! _
4. bomb|bomb&
   
5. };
   
6. bomb
   

复制代码

因为shell中函数可以省略function关键字，所以上面的十三个字符是功能是定义一个函数与调用这个函数，函数的名称为:，主要的核心代码是:|:&，可以看出这是一个函数本身的递归调用，通过&实现在后台开启新进程运行，通过管道实现进程呈几何形式增长，最后再通过:来调用函数引爆炸弹。因此，几秒钟系统就会因为处理不过来太多的进程而死机，解决的唯一办法就是重启。

# u) ]# B$ K- e; q; W! }6 G) P当然有“不怕死”的小伙伴用了云主机试了一试：

. U; {8 c- t4 b* f

. }3 H( M# x2 |+ y% N4 E8 I' E9 Q6 ?

结果，运行一段时间后直接报出了-bash: fork: Cannot allocate memory，说明内存不足了。

/ h5 T' @0 w. M  ]0 J并且在二号终端上尝试连接也没有任何反应。因为是虚拟的云主机，所以我只能通过主机服务商的后台来给主机断电重启。然后才能重新登录：
0 `, {* u" o0 r

当然，Fork炸弹用其它语言也可以分分钟写出来一个，例如，python版：

1. 
   
2. import os
   
3. 
   ( Z) @, |; k- @
4. while True:   os.fork()

复制代码

Fork炸弹的本质无非就是靠创建进程来抢占系统资源，在Linux中，我们可以通过ulimit命令来限制用户的某些行为，运行ulimit -a可以查看我们能做哪些限制：
$ `7 W, D8 ^% [( |0 E

1. 
   / Y6 {1 {- ?3 \0 Z' z0 ~, }
2. ubuntu@10-10-57-151:~$ ulimit -a
   1 _& O, T0 }1 l) \
3. core file size          (blocks, -c) 0
   0 y# {& ~0 X* k  w  e
4. data seg size           (kbytes, -d) unlimited
   3 ?2 v! n  u2 h: k1 h
5. scheduling priority             (-e) 0
   . w3 S9 R# K7 Y8 A1 u  N' ^: A
6. file size               (blocks, -f) unlimited
   5 S/ m- q$ G& d& j; k: V
7. pending signals                 (-i) 7782
   
8. max locked memory       (kbytes, -l) 64
   3 ~+ i* @  O0 v. G2 s$ E: e2 g* l1 _
9. max memory size         (kbytes, -m) unlimited
   
10. open files                      (-n) 1024
    
11. pipe size            (512 bytes, -p) 8
    & N4 s' U& [' N
12. POSIX message queues     (bytes, -q) 819200
    
13. real-time priority              (-r) 0
    
14. stack size              (kbytes, -s) 8192
    ! x3 L) L. G+ m  V' b) h
15. cpu time               (seconds, -t) unlimited
    / K9 ?& [. Q- t6 J$ S
16. max user processes              (-u) 7782
    7 T) z" t( h0 J: z- P3 g
17. virtual memory          (kbytes, -v) unlimited
    
18. file locks                      (-x) unlimited

复制代码

6 J0 m4 ~2 l2 d' ]" ?+ v4 i1 ~8 x

可以看到，-u参数可以限制用户创建进程数，因此，我们可以使用ulimit -u 20来允许用户最多创建20个进程。这样就可以预防bomb炸弹。但这样是不彻底的，关闭终端后这个命令就失效了。我们可以通过修改/etc/security/limits.conf文件来进行更深层次的预防，在文件里添加如下一行（ubuntu需更换为你的用户名）：

' F% g$ Z  i$ J# ^) b. d; P: m2 _

• ubuntu - nproc 20
  " r0 A  [0 j4 ^, b' e( l$ S

这样，退出后重新登录，就会发现最大进程数已经更改为20了，这个时候我们再次运行炸弹就不会报内存不足了，而是提示-bash: fork: retry: No child processes，说明Linux限制了炸弹创建进程。

- _3 f6 U  p8 q: z" V, }! D1 n

东尼·霍尔的快速排序算法

4 `- r" N. _- V( j

这个算法是由图灵奖得主东尼·霍尔(C. A. R. Hoare)在1960年提出的，从名字中就可以看出，快速就是他的特点。

快速排序采用了“分治法”策略，把一个序列划分为两个子序列。在待排序列中，选择一个元素作为“基准”（Pivot）。
/ v5 o+ R( S: R! M" v# c

所有小于“基准”的元素，都移动到“基准”前面，所有大于“基准”的元素，都移动到“基准”后面（相同的数可以到任一边）。此为“分区”（partition）操作。
* k) X9 I" Z6 l6 m( u( x9 ~
分别对“基准”两边的序列，不断重复一、二步，直至所有子集只剩下一个元素。

假设现有一数列：
% C0 ?- t7 Q$ ~" c/ p! u

5 x7 F2 A9 k, W- G/ v% `对此数列进行快速排序。选择第一个元素 45 作为第一趟排序的“基准”（基准值可以任意选择）。

第一趟：将元素 45 拿出来，分别从数列的两端开始探测
- @( b. k: S/ ?& y* C5 v: \" l
首先从右向左开始，找到第一个小于 45 的元素为 25，然后将 25 放置到第一个元素 45 的位置上。此时数列变为：
$ g1 \6 Q; ^6 d3 P% C
  g% J2 e- r: m( a: B

( j4 F, h( t/ V

然后从左向右开始，找到第一个大于 45 的元素为 66 ，然后将 66 放置到原先元素 25的位置上。此时数列变为：
* P* d+ y. g9 ^: Y( v* [

3 c& B! `0 ~* L$ z7 i: s

继续从右向左开始，找到第二个小于 45 的元素为 10 ，然后将 10 放置到原先元素 66的位置上，此时数列变为：

继续从左向右开始，找到第二个大于 45 的元素为 90 ，然后将 90 放置到原先元素 10的位置上，此时数列变为：

& L# ]: o- J. ^5 x1 @* Z

继续从右向左开始，此时发现左右碰面，因此将“基准”45 放置到原先元素 90 的位置上，此时数列变为：
& D! _: E) ~: W  u8 Y% O

至此，第一轮结束，“基准”45 左侧为小数区，右侧为大数区。同样的分别对小数区和大数区应用此方法直至完成排序。

分析完成后通过C++的源代码如下：
& n& ~& J. T/ a8 k# V

2 w, o, j3 M8 e

快速排序核心算法：
, C( u9 \: a% B  e# ]5 J

1. 
   , s- I; _0 V2 l1 R
2. //每一轮的快速排序
   0 R) J  A3 A$ h- I2 v2 Q- P
3. int QuickPartition (int a[],int low,int high)
   
4. {
   
5.     int temp = a[low];//选择数组a的第一个元素作为“基准”
   , [% b2 I: g* r+ {  c' |
6.     while(low < high)
   : H3 W" G# B( g9 ?; O
7.     {
   
8.         while(low < high && a[high] >= temp )//从右向左查找第一个小于“基准”的数
   
9.         {
   
10.             high--;
    3 g5 X% t3 _! y7 ]2 u+ X4 K
11.         }
    + x2 y' T% o+ Z+ Z7 I3 f
12.         if (low < high)
    
13.         {
    1 r( d. l0 L, X3 @! p
14.             a[low] = a[high];//将第一个找到的大于“基准”的数移动到low处
    
15.             low++;
    % \' Z5 F, n/ f4 s; D
16.         }
    & ^+ x% y2 c3 b; f8 w) i, f
17. 
    6 g2 N7 X! v) p4 T' `
18.         while(low < high && a[low] <= temp)//从左向右查找第一个大于“基准”的数
    
19.         {
    # V2 R; k. B; T& b) q
20.             low++;
    & }$ W6 X+ S4 v) n. n
21.         }
    - B* W; V* K0 s) v3 B& h( \' ~
22.         if(low < high)
    
23.         {
    " R. ^( x4 M' w2 D! K  D* Z
24.             a[high] = a[low];//将第一个找到的小于“基准”的数移动到high处
    
25.             high--;
    * q; b3 O2 [1 r& C# o
26.         }
    
27. 
    # ~( s; {7 C7 X
28.         a[low] = temp;//将“基准”填到最终位置
    
29.     }
    
30.     return low;//返回“基准”的位置，用于下一轮排序。
    
31. }

复制代码

8 Z0 V8 S# X* P

递归调用QuickSort（分治法）：
* @  T  R9 ?2 |0 T8 ^( G$ \

1. 
   
2. //快速排序-递归算法
   
3. void QuickSort (int a[],int low,int high)
   
4. {
   , C8 Q7 M. `, L. y* P; C  P: S2 U
5.     if(low < high)
   " @1 e2 Q3 a: A0 G+ m/ |  q
6.     {
   7 M0 @. z$ o( N9 R9 m
7.         int temp = QuickPartition(a,low,high);//找出每一趟排序选择的“基准”位置
   8 N) k9 N  Q8 `: e+ R( k/ E7 A
8.         QuickSort(a,low,temp-1);//递归调用QuickSort，对“基准”左侧数列排序
   
9.         QuickSort(a,temp+1,high);//对“基准”右侧数列排序
   
10.     }
    
11. }

复制代码

( M% ^% W7 Y/ A5 M. X: h主函数调用：
( b6 Q2 [* J9 _  H5 p$ `% ]

1. 
   ; `8 ~& z# P9 P; G4 a: E; h& Y3 m
2. void main()
   
3. {
   ; `8 X4 p: p9 I2 ?9 ]
4.     int a[8]={45,38,66,90,88,10,25,45};//初始化数组a
   
5.     QuickSort(a,0,7);
   
6. 
   3 g, U/ W1 L& r) @
7.     cout<<endl<<"排序后：";
   : k2 Z/ A7 U2 }
8.     for(int i = 0;i <= 7;i++)
   : \# W3 H- v; j+ l! G+ W6 g
9.     {
   
10.         cout<<a[i]<<" ";
    
11.     }
    ' w: ?5 ~& g" W; R7 e
12.     getchar();
    6 D$ u6 b1 i: E# B: f$ [5 P5 P
13. }

复制代码

  u1 s  d- s8 f  \8 ~5 G- v- L
排序后结果：
8 X5 W, G: ~" `" L/ S3 q

毫无炫技又惊为天人的二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
* m' j) q2 M: D! I二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
* e) r; U% h6 V* P8 p匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
1 R; ~0 e5 s# P' J! d! ^

$ |% l: u4 E; D/ S# d" u8 A

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
6 w% U+ w) l8 m8 c+ v9 A举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
+ X7 r3 Q2 s' D4 C. p  A0 X
1 k  Q7 ^/ E: D% _
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。


/ u4 Z" Q, G, R; A交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
: A& J2 W  V' P$ E" `. u增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
0 u: C* y* u  ~3 P  ]; m6 Z8 n增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
* R+ m- x: \7 C$ V# [+ B我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
' B( k6 O4 w# u, U, T9 b3 V匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
8 m* M" d" z8 v! X: l7 u

   
# w8 d: @4 d6 j2 F4 s% c% F这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
- u6 F) i: f+ O' ~下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码：
& j6 n. y& ]) l2 ^

1. 
   # l$ K! ~  C- O4 F" ~" p( Z. s. ?
2. // 顶点、边的编号均从 0 开始
   ( x. D3 t* B" M8 v; N" z% W
3. // 邻接表储存
   
4. 
   7 L5 O7 l) R0 D( X) k
5. struct Edge
   
6. {
   
7.     int from;
   ; Y7 }; j1 }  k3 G1 q' j
8.     int to;
   
9.     int weight;
   , s7 p3 x! v3 J( |8 H: Q( o
10. 
    7 v; N0 u7 J8 H6 V, T+ W- W1 z
11.     Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
    
12. };
    
13. 
    5 e" X* j% h7 t  I
14. vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    
15. vector<Edge> edges;
    . D( O& f$ c, ]. U- s5 v
16. typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    ; @9 r5 G; s) x/ v+ Z
17. int num_nodes;
    
18. int num_left;
      S6 M& ~" p, L, t5 q( s
19. int num_right;
    
20. int num_edges;
      s* q9 f$ y6 ~% G

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1. 
   
2. int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
   1 Q, I* k% f# I2 _& V* x
3. int check[__maxNodes];
   " S- I# w2 u: g; o0 O6 Y% L! [
4. bool dfs(int u)
   
5. {
   
6.     for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
   9 n1 I& |# a  o4 @- r
7.         int v = edges[*i].to;
   
8.         if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
   $ g* v0 y/ g6 A) ?
9.             check[v] = true; // 放入交替路
   7 t" D' d: L/ ~6 |
10.             if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
    , m- Q+ K6 M) M7 o6 M
11.                 // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
    , T) x3 h  m7 I# o& M- W5 y
12.                 matching[v] = u;
    
13.                 matching[u] = v;
    
14.                 return true;
    
15.             }
    - h. P# E8 u- C1 Y2 F4 K
16.         }
    3 p, Y  x, D' C3 ]2 T" r
17.     }
    
18.     return false; // 不存在增广路，返回失败
    
19. }
    
20. int hungarian()
    
21. {
    
22.     int ans = 0;
    9 x- _, G$ O( n( @( p
23.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
    
24.     for (int u=0; u < num_left; ++u) {
    
25.         if (matching[u] == -1) {
    
26.             memset(check, 0, sizeof(check));
    
27.             if (dfs(u))
    
28.                 ++ans;
      V, z" k: C6 `1 b% a
29.         }
    
30.     }
    2 f% G5 L2 l- \0 Z9 A# T
31.     return ans;
    % e) g4 n9 S" _, D- K8 `
32. }<u></u>
    - v0 w! X1 F- h* l

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1. 
   
2. queue<int> Q;
   4 I1 V5 i# J; {  h
3. int prev[__maxNodes];
   
4. int Hungarian()
   " l. d7 ^( Y  m7 ~
5. {
   
6.     int ans = 0;
   1 R# M" F& R+ n% U& H
7.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
   
8.     memset(check, -1, sizeof(check));
   
9.     for (int i=0; i<num_left; ++i) {
   5 ^+ y$ Y/ p! s* `) v1 s& U* `2 O
10.         if (matching[i] == -1) {
    
11.             while (!Q.empty()) Q.pop();
    
12.             Q.push(i);
    : C, J% }1 Y# s& _
13.             prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
    . H# w9 e  {' e: U$ U6 g
14.             bool flag = false; // 尚未找到增广路
    8 E+ P6 j( ]$ c! C( j$ ~1 j1 v
15.             while (!Q.empty() && !flag) {
    
16.                 int u = Q.front();
    4 d: w& c. a2 F6 U- N5 `0 h
17.                 for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
    
18.                     int v = edges[*ix].to;
    6 b! ?8 F: u8 t- Q7 ~1 b5 F
19.                     if (check[v] != i) {
    
20.                         check[v] = i;
    
21.                         Q.push(matching[v]);
    . c- D3 k. ^' q7 Q# e) v7 y- a
22.                         if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
    1 I% i+ q5 b# K5 C4 J
23.                             prev[matching[v]] = u;
    
24.                         } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
    1 z) k" n- r7 p: X0 [% v0 Q
25.                             flag = true;
    ( S% n2 h( ?, @+ h
26.                             int d=u, e=v;
    
27.                             while (d != -1) {
    ) `' p) b& m2 q, S" a
28.                                 int t = matching[d];
    " x4 l3 U- Y  |  _% ?/ W- I2 d( Q3 e& b
29.                                 matching[d] = e;
    
30.                                 matching[e] = d;
    " v. c* x1 d* w2 o: A: M
31.                                 d = prev[d];
    
32.                                 e = t;
    
33.                             }
    # T' l( d% N. ~
34.                         }
    
35.                     }
    # w9 j- E. y9 s- c( s5 P% Z
36.                 }
    % E4 P* T# G7 Q+ S- h
37.                 Q.pop();
    
38.             }
    2 I! P' v, H% f: [8 L
39.             if (matching[i] != -1) ++ans;
    
40.         }
    8 v: h% g1 W& l
41.     }
    
42.     return ans;
    
43. }

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. L4 `# P) N4 h, J! t( q0 \
( U9 O; B- v# w! Q5 e6 a
+ l7 r  [, U. E6 K( {匈牙利算法的要点如下
# W" U+ B  u8 Q# C& l. r

• 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
  6 u! K2 i% \1 |2 A
  • 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
  • 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
    
• 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。
    n% \7 o9 Q* G% f" ~

0 h' e' w  i2 x3 v3 `1 U1 C. S$ d" }性能比较
两个版本的时间复杂度均为O（V·E）。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。补充定义和定理：
- `; N* e7 t9 ^6 q9 E1 e2 G最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
0 I" z; X2 A/ R: Q最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
) c. c0 e% A+ V) x, f定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）定理2：最大匹配数 = 最大独立数定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

funny， Amazing， Beautiful，

没想到开方函数还有这么段有趣的历史，受教了。