一战封神的 0x5f375a86

雷神之锤3是一款九十年代非常经典的游戏，内容画面都相当不错，作者是大名鼎鼎的约翰卡马克。由于当时游戏背景原因，如果想要高效运行游戏优化必须做的非常好，否则普通人的配置性能根本不够用，在这个背景下就诞生了“快速开平方取倒数的算法”。

4 m$ q' y! z( ]6 i在早前自雷神之锤3的源码公开后，卡马克大神的代码“一战封神”，令人“匪夷所思”的0x5f375a86 ，引领了一代传奇，源码如下：

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number ) {
   $ w* @( L& F0 t! f8 F
3.     long i;
   
4.     float x2, y;
   
5.     const float threehalfs = 1.5F;
   
6.   x2 = number * 0.5F;
   , {/ F' G3 _; r" W" Q# ?! @8 v
7.     y   = number;
     C7 _, l2 F, o
8.     i   = * ( long * ) &y;
   8 E5 a; _) h) E# ~8 U* m
9.   // evil floating point bit level hacking
   ; _! v% ]" q/ [" ?3 ^( n, O+ _
10.     i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    " f5 Q$ s2 H& M) m) y
11.     y   = * ( float * ) &i;
    
12.     y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
13. // 1st iteration
    3 Z) A4 Y+ W) _5 Q. _% A
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
    
15. // 2nd iteration, this can be removed
    ' j, s: a& o: W6 L# W
16.   #ifndef Q3_VM
    4 N+ s2 h* g/ n  Q3 M! T
17.     #ifdef __linux__
    ! u1 o3 z# x( _% P( M4 H8 q
18.       assert( !isnan(y) );
    
19. // bk010122 - FPE?
    0 b* m9 E0 ]  G& ~' A  s3 c
20.     #endif   
    
21. #endif   
    
22. return y; }

复制代码

) {3 O8 B  v" d

相比 sqrt() 函数，这套算法要快将近4倍，要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
- k; M$ n: b8 p( E2 b
# n! B0 K7 r. O

牛顿迭代法的原理是先猜测一个值，然后从这个值开始进行叠代。因此，猜测的值越准，叠代的次数越少。卡马克选了0x5f3759df这个值作为猜测的结果，再加上后面的移位算法，得到的y非常接近1/sqrt(n)。这样，我们只需要2次牛顿迭代法就可以达到我们所需要的精度。

函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。

注意到这个正数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代，直接运算)。编译、实验，这个团数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！

% G2 g& {5 _+ t' B5 y0 t6 [这个简洁的定数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了what the fuck的一句 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 )；再加上y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )。

两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。
# j7 z3 @6 Y7 P/ q3 F% A- m$ F2 P4 s

算法的原理就是使用牛顿迭代法,用 x-f(x)/f'(x) 来不断的逼近 f(x)=a 的根。

+ a9 `; R+ D- k0 g

求平方根：f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x, f(x)/f'(x)=x/2,把 f(x) 代入 x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2，

3 U3 V* l1 O1 O# S: t' L) v3 [/ I

现在我们选 a=5,选一个猜测值比如 2，  那么我们可以这么算  5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = ……  这样反复迭代下去，结果必定收敛于 sqrt(5)。

3 V$ j& v9 I3 E

但是卡马克作者真正厉害的地方是他选择了一个神秘的常数 0x5f375a86来计算那个梦“值，

( ~! i6 i0 a/ d7 |; H' r6 T" \( i) H" u就是我们加注释的那一行那行算出的值非常接近1/sqrt(n)这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。

% K$ ~/ h0 ^. z8 Z当然目前也已有翻译过C++语言的版本：

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number )
   
3. {
   
4.     long i;
   9 z9 k! _. V5 U) y1 v% N
5.     float x2, y;
   + V1 l; _7 ~4 x' |
6.     const float threehalfs = 1.5F;
   
7. 
   ! X+ `) E! F% R$ A2 A* a3 k8 `; Y1 [
8.     x2 = number * 0.5F;
   3 c1 M1 b' j2 s4 ]) d
9.     y  = number;
   
10.     i  = * ( long * ) &y;
    ) z& k; J4 F' ]: Q+ i* U4 ]
11.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    6 F) o+ h. q9 {- J5 |2 Q" [
12.     y  = * ( float * ) &i;
    
13.     y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    
14.     // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
    7 ^+ l7 L! o) |4 u, f- [1 j
15. 
    
16.     #ifndef Q3_VM
    . {% b' s% G4 n3 z  T6 v% y
17.     #ifdef __linux__
    
18.         assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    ; s. g2 D7 g2 k# L6 I5 b6 E
19.     #endif
    & K- ~* }. L  r; Y# g) t
20.     #endif
    , _5 |/ ^4 \2 \% `, w! k$ m
21.     return y;
    * d0 X3 O' I, _" O  N2 Q
22. }

复制代码

当然，更加魔幻的是，普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，但也不服气，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。

. P! ~. D& r3 `3 m% b4 j. W

在精心研究之后，Lomont从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了...

& W- p, C2 y' Q) `3 a1 e; a/ c

Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

囊括世界万物的一段代码

这是一段使用Processing语言的代码，这短短的几行代码永无休止的就在做一件事——“穷举”。那么它又有什么特殊之处吗？

( d9 q5 d: F2 [( g* Q

忽略机器本身的性能限制，假设 frameCount 可以无限大（frameCount代表当前帧数）。只需安安静静地盯着屏幕，就可以看到所有像素的所有组合可能。

  |9 `  H+ h2 a) g3 [

这意味着你可以在上面看到所有艺术大师的作品，蒙娜丽莎、向日葵甚至是初音……人类历史上所有光辉的瞬间都将闪现在眼前。

但是这又需要多久时间呢？计算机里的每个像素都是由 256 级的 RGB 组成的。因此可以表示 256 ³ （1600万）种颜色。假如图形的分辨率为 1000 × 1000，所有的像素可能的色值相互组合，将会产生 256 的 3000000 次方张不同图片。

如果将图片排在一个长廊上，人以一秒一张的速度去浏览。由于一年有 31536000 秒，因此要走完这条长廊，就需要 10⁷²²⁴⁷¹² 年。

9 m( O; @* ?, w

这个数字已经大得很难用人类的常用单位去表示了。硬是要用，那就是 10亿亿亿亿亿亿......年（90万个亿）。要清楚，宇宙的年龄也仅仅是 140 亿年（1.4 × 10¹⁰年）。。

/ H1 ]( W' r' t

这也意味着，即使你从宇宙大爆炸看到现在，也无法将这个程序看完。但如果把图片像素的精度降低呢？用 100 × 100 的分辨率并且只用黑白二值去表示图形？此时总数就会缩减到 2⁷⁰⁰⁰⁰ ，也就约等于 10³⁰¹⁰。

- {4 ]2 \* K+ M

看似缩小很多了。如果同时动用全人类的力量，将这个任务分配给70亿人。每人还是要不眠不休地看上 3.17 × 10³⁰⁰² 年，才能看完。

. F7 T( \' C+ R, v1 e

即使化到最简，结果仍是大得恐怖。但如果能看完，我手上说不准会有一张 100 × 100 的HelloKitty头像，他手上或许能有一张爱因斯坦吐舌头的照片。

可以用这么简洁的形式去展现万物，用近乎无限的时间去换取无限的可能，我觉得这就是这段代码的魅力所在。

1. 
   
2. void setup(){
   
3. size(500,500);
   1 k" v5 g4 _3 ~- T! h: o7 K7 |
4. }
   
5. void draw(){
   9 m, _6 W* x( E' i. ?
6. for(int i=0;i<width;i++){
   - A0 `4 N  {/ A* m+ d& _; j
7.    for(int j=0;j<height;j++){
   3 d) H0 D" q$ m8 |
8. stroke(frameCount/pow(255,i+j*width)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+1)%255,frameCount/pow(255,i+j*width+2)%255);
   1 `/ I! d+ }. S+ ]
9.      point(i,j);
   0 z. F% k& ]2 ?
10.    }
    
11. }
    
12. }

复制代码

5 e; d0 b" g  ^3 D8 K

这段代码也有5x5的精简加速版本，当然其中的参数也是可以任意修改的，代码如下：

1. 
   9 D' O3 R# A  {( ^
2. int num,w,frame,level;
   
3. 
   
4. void setup(){
   $ q$ U: H( w' E* m) _# |
5. size(400, 400);
   & I" M9 Q" b+ i7 B$ m6 i
6. num = 5;
   1 I4 H/ M) s9 U' Y
7. w = width/num;
   $ P# r" v  A4 q/ I! q" K
8. level = 2;     //色值精度
   
9. }
   
10. 
    
11. void draw(){
    
12. for(int i = 0; i < num; i++){
    ! S2 X" w( _, r" i) n' x
13.    for(int j = 0; j < num; j++){
    
14.      fill((int(frame/pow(level,i + j * num)) % level)* (255 / (level - 1)));
    9 x$ j0 F$ |8 A' D8 \
15.      rect(w * i, w * j, w, w);
    
16.    }
    
17. }
    & E" ^" D" `3 O; [& W- r- I
18. // frame++;                       匀速播放  
      A. L# F, \1 O
19. frame = int(pow(frameCount,2));   //加速播放
    
20. }

复制代码

# l% C" y9 _4 w) x: b' t

只有13个字符的Linux Fork炸弹
" f5 K9 A% R0 V5 i

" t8 a2 Y, n- B7 W% ~* d5 o$ z

早在2002年，Jaromil设计了最为精简的一个Linux Fork炸弹，整个代码只有13个字符，在 shell 中运行后几秒后系统就会宕机：
# A$ X4 S8 O( v

1. :(){:|:&};:

复制代码

这样看起来不是很好理解，我们可以更改下格式：
1 k+ j$ Y" x/ b8 x

1. 
   ( l  A; n2 n8 _9 s7 s2 Y! U
2. :()
   
3. {
   8 p8 G3 `+ ]8 c$ D4 i
4. :|:&
     A. A; L# d  _8 u
5. };
   
6. :

复制代码

更好理解一点的话就是这样:

1. 
   
2. bomb()
   " ^2 O$ r5 _" q! n, p
3. {
   7 I, Y2 x+ o9 S$ V6 y2 R
4. bomb|bomb&
   
5. };
   $ r/ h9 Z7 g( \
6. bomb
   ' y9 q+ D# G9 [+ P% h# v1 t

复制代码

因为shell中函数可以省略function关键字，所以上面的十三个字符是功能是定义一个函数与调用这个函数，函数的名称为:，主要的核心代码是:|:&，可以看出这是一个函数本身的递归调用，通过&实现在后台开启新进程运行，通过管道实现进程呈几何形式增长，最后再通过:来调用函数引爆炸弹。因此，几秒钟系统就会因为处理不过来太多的进程而死机，解决的唯一办法就是重启。

5 T2 G4 Q) T9 w6 `当然有“不怕死”的小伙伴用了云主机试了一试：
$ y2 ?/ u3 W' q' p* f
1 k7 t2 }& A- |

" N# s% y2 Y- w% Q: h" K% w

结果，运行一段时间后直接报出了-bash: fork: Cannot allocate memory，说明内存不足了。
7 u6 H, V9 g! u" \3 G
并且在二号终端上尝试连接也没有任何反应。因为是虚拟的云主机，所以我只能通过主机服务商的后台来给主机断电重启。然后才能重新登录：
4 D- K* f" z9 [

: X! S. C) h1 P

1 v( u# h# i/ j9 d" a1 q" U* X4 L

当然，Fork炸弹用其它语言也可以分分钟写出来一个，例如，python版：

1. 
   ) z( [& b, }( `
2. import os
   6 _0 ]) L. d0 R: S
3. 
   ' M7 N# V( Y. s# A
4. while True:   os.fork()

复制代码

Fork炸弹的本质无非就是靠创建进程来抢占系统资源，在Linux中，我们可以通过ulimit命令来限制用户的某些行为，运行ulimit -a可以查看我们能做哪些限制：
; Z, ^0 y. q1 L$ U0 v) O6 z' W8 v

1. 
   
2. ubuntu@10-10-57-151:~$ ulimit -a
   
3. core file size          (blocks, -c) 0
   ) Y! P9 A4 I- L8 g9 L- `
4. data seg size           (kbytes, -d) unlimited
   ! {$ E( v( e" @9 [* i
5. scheduling priority             (-e) 0
   
6. file size               (blocks, -f) unlimited
   
7. pending signals                 (-i) 7782
   
8. max locked memory       (kbytes, -l) 64
   
9. max memory size         (kbytes, -m) unlimited
   - G3 r4 }) }% L9 I  [' @4 s( W# I
10. open files                      (-n) 1024
    
11. pipe size            (512 bytes, -p) 8
    
12. POSIX message queues     (bytes, -q) 819200
    + l4 M  L5 x6 _
13. real-time priority              (-r) 0
    
14. stack size              (kbytes, -s) 8192
    
15. cpu time               (seconds, -t) unlimited
    - }- `. Y  ]4 _- d' F5 N* A; c/ W% V  B
16. max user processes              (-u) 7782
    * v& {+ O. f5 J
17. virtual memory          (kbytes, -v) unlimited
    " a( X! C6 U* n9 J9 ]* [
18. file locks                      (-x) unlimited

复制代码

* m$ r8 L* g' W  o) g* E

4 E7 }$ j3 S. i. V

可以看到，-u参数可以限制用户创建进程数，因此，我们可以使用ulimit -u 20来允许用户最多创建20个进程。这样就可以预防bomb炸弹。但这样是不彻底的，关闭终端后这个命令就失效了。我们可以通过修改/etc/security/limits.conf文件来进行更深层次的预防，在文件里添加如下一行（ubuntu需更换为你的用户名）：

• ubuntu - nproc 20
  

这样，退出后重新登录，就会发现最大进程数已经更改为20了，这个时候我们再次运行炸弹就不会报内存不足了，而是提示-bash: fork: retry: No child processes，说明Linux限制了炸弹创建进程。

4 W& s$ X0 G* S0 Z# S

东尼·霍尔的快速排序算法

. [1 p6 c5 V" Y

这个算法是由图灵奖得主东尼·霍尔(C. A. R. Hoare)在1960年提出的，从名字中就可以看出，快速就是他的特点。

快速排序采用了“分治法”策略，把一个序列划分为两个子序列。在待排序列中，选择一个元素作为“基准”（Pivot）。

* v; R; w- K# y" K% t& d$ D

所有小于“基准”的元素，都移动到“基准”前面，所有大于“基准”的元素，都移动到“基准”后面（相同的数可以到任一边）。此为“分区”（partition）操作。
1 f. L; \9 A0 k7 H' M5 H5 B+ S$ b
0 ]1 K) D$ {; W, d分别对“基准”两边的序列，不断重复一、二步，直至所有子集只剩下一个元素。

' @1 m8 Y  T% k) L

假设现有一数列：

  b4 z0 d5 _4 l+ C

7 k0 |0 ^1 o9 h# h$ z* B对此数列进行快速排序。选择第一个元素 45 作为第一趟排序的“基准”（基准值可以任意选择）。

第一趟：将元素 45 拿出来，分别从数列的两端开始探测
1 X5 d: ^7 V- a3 F% m. m1 [! l  B' Y
0 \! i( l( T9 e首先从右向左开始，找到第一个小于 45 的元素为 25，然后将 25 放置到第一个元素 45 的位置上。此时数列变为：

+ i3 B5 g6 S, ^) P) X- i

( a$ E. f! j( `, M, Y

然后从左向右开始，找到第一个大于 45 的元素为 66 ，然后将 66 放置到原先元素 25的位置上。此时数列变为：
) e. Z/ T( o/ S2 G$ z* @2 I' c
9 H% K, C' M7 _

" e& b* W9 d/ d) d

继续从右向左开始，找到第二个小于 45 的元素为 10 ，然后将 10 放置到原先元素 66的位置上，此时数列变为：
& F3 A8 b$ ?5 s0 }9 \% ^4 |

" O- C, p6 F) N! u+ L继续从左向右开始，找到第二个大于 45 的元素为 90 ，然后将 90 放置到原先元素 10的位置上，此时数列变为：
5 S: T. P3 D* `1 `) U' ?

* U, E7 E% z6 U0 j) q2 p

继续从右向左开始，此时发现左右碰面，因此将“基准”45 放置到原先元素 90 的位置上，此时数列变为：

4 D: n. k4 r+ |至此，第一轮结束，“基准”45 左侧为小数区，右侧为大数区。同样的分别对小数区和大数区应用此方法直至完成排序。

分析完成后通过C++的源代码如下：
- ?0 W2 a  r: F) x# }2 H' I

快速排序核心算法：
6 ?; a" W& L- ^6 R: z' O1 E

1. 
   0 F) R( K4 ^5 k
2. //每一轮的快速排序
   
3. int QuickPartition (int a[],int low,int high)
     U  _8 B9 O' G/ o( Z6 z
4. {
   & z8 z8 H: u# K# q* k
5.     int temp = a[low];//选择数组a的第一个元素作为“基准”
   
6.     while(low < high)
   
7.     {
   + {' O1 _  f3 v' B# ~: i3 B4 R& |
8.         while(low < high && a[high] >= temp )//从右向左查找第一个小于“基准”的数
   
9.         {
   
10.             high--;
    
11.         }
    
12.         if (low < high)
    1 ]0 \; ]2 W: F
13.         {
    / I2 r+ B. b* M6 P$ f$ ]; e" N$ s. w
14.             a[low] = a[high];//将第一个找到的大于“基准”的数移动到low处
    ' \2 F" O) A3 U4 m
15.             low++;
    
16.         }
    ; h2 N8 _) L$ `% U; w
17. 
    * B: o) F  ^; y; f: |
18.         while(low < high && a[low] <= temp)//从左向右查找第一个大于“基准”的数
    $ Q3 k5 B# C' j+ s! r! p3 |* z
19.         {
    
20.             low++;
    
21.         }
    
22.         if(low < high)
    " A" z- X/ b0 e3 `+ Y
23.         {
    
24.             a[high] = a[low];//将第一个找到的小于“基准”的数移动到high处
    5 t- A! j' P* {9 D
25.             high--;
    
26.         }
    4 [6 m: d5 H# {9 s
27. 
    9 s+ t% \4 t1 _# n$ l
28.         a[low] = temp;//将“基准”填到最终位置
    
29.     }
    9 T! _; S, ]1 Z/ _2 v
30.     return low;//返回“基准”的位置，用于下一轮排序。
    
31. }

复制代码

( v" b5 Y/ a* H$ A

' e( L# w/ O! @' y* E. W

递归调用QuickSort（分治法）：
6 x! W! {' A+ f7 e7 Q

1. 
   ) J. U; s$ S3 x4 l. q3 B# l
2. //快速排序-递归算法
   ' O9 Y$ V" H; E1 s
3. void QuickSort (int a[],int low,int high)
   
4. {
   
5.     if(low < high)
   ! p7 E3 @1 V6 s$ p+ d( t
6.     {
   
7.         int temp = QuickPartition(a,low,high);//找出每一趟排序选择的“基准”位置
   
8.         QuickSort(a,low,temp-1);//递归调用QuickSort，对“基准”左侧数列排序
   " o$ o9 z& r1 h; t
9.         QuickSort(a,temp+1,high);//对“基准”右侧数列排序
   
10.     }
    & a$ ]8 I, S+ [0 b1 {! D
11. }

复制代码

主函数调用：
: J2 ]8 a, B7 C2 }: v, p5 @

1. 
   
2. void main()
   ' d+ D3 k3 I8 ]& D
3. {
   ; j" N0 i4 ]- f+ S
4.     int a[8]={45,38,66,90,88,10,25,45};//初始化数组a
   6 @. q/ d# ~3 u8 K8 ?
5.     QuickSort(a,0,7);
   ( D$ x/ O0 u: u% U: L: @( o
6. 
   ; [' v, e# c" H5 Q% m6 L" t5 O  ^+ O
7.     cout<<endl<<"排序后：";
   
8.     for(int i = 0;i <= 7;i++)
     [0 R/ l3 a: m8 U1 ^- }
9.     {
   
10.         cout<<a[i]<<" ";
    
11.     }
    8 S* }2 A7 K3 }9 s
12.     getchar();
    
13. }

复制代码

  K6 ^4 @0 W& Y. m# v
& L" ?+ k. U+ ?' o排序后结果：

' m& _  f9 c' b6 }5 I! X

毫无炫技又惊为天人的二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
2 d( n3 `8 \: \匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
, X2 J% ~" B7 m4 }完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。


4 J: T) a' n! Q! p" J基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
' d2 R" R1 w; N; F$ b' K

( U/ ?- m( E8 l: J交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
! G7 D2 b2 R2 }7 [. S4 j增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
: t* r. G( h* K, G. U我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
4 l/ L5 n3 L5 i) X匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

1 V; y% q+ f3 [% o

   
, H3 O0 @- s! q- h1 |这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
1 T6 {9 e# F8 v, i% I下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码：

1. 
   
2. // 顶点、边的编号均从 0 开始
   1 ~4 b) i, s" i
3. // 邻接表储存
   % ^6 `6 Q1 u- T9 x+ z
4. 
   
5. struct Edge
   ( r1 }) p' k, A( h9 D: n
6. {
   
7.     int from;
   
8.     int to;
   
9.     int weight;
   ' o5 i' B9 Q. f5 w
10. 
    
11.     Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
    % U& i) S, _3 n( ~: }9 O2 I8 e
12. };
    ! S1 V- P" h8 s- f7 w  }+ R  ?* z
13. 
    # |: c6 d7 O* E; D. @( M
14. vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    4 ~7 U5 @3 F$ C
15. vector<Edge> edges;
    ) f- [! u" q  I8 L8 Q
16. typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    
17. int num_nodes;
    
18. int num_left;
    . u* ~# \4 Z2 y3 _. w
19. int num_right;
    
20. int num_edges;
    

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1. 
   
2. int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
   5 v* q* w( `9 s- o# G$ _
3. int check[__maxNodes];
   8 z# v0 u& V2 X' h- `
4. bool dfs(int u)
   3 V: ~  k! P. h8 t9 Z
5. {
     Y, x* M6 g; [8 \1 N0 k
6.     for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
   # N' a' E" Y+ w- f& p: d
7.         int v = edges[*i].to;
   
8.         if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
   
9.             check[v] = true; // 放入交替路
   
10.             if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
    
11.                 // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
    , t) |. v1 M; u2 Y% y% s. E" ?* U2 g
12.                 matching[v] = u;
    
13.                 matching[u] = v;
    2 u7 [2 m  q; ?' k& `$ ?/ i
14.                 return true;
    
15.             }
    * s: r' R$ o: y0 f
16.         }
    
17.     }
    
18.     return false; // 不存在增广路，返回失败
    ' n" r8 ~1 J3 }( Z- _. J- A3 b/ L
19. }
    
20. int hungarian()
    
21. {
    6 p: ~2 D: o6 V9 c
22.     int ans = 0;
    
23.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
    ; o+ a" _+ H* Z; o
24.     for (int u=0; u < num_left; ++u) {
    ! d. {6 _, M! Q- q+ v9 g" W2 n
25.         if (matching[u] == -1) {
    
26.             memset(check, 0, sizeof(check));
    
27.             if (dfs(u))
    " j! ^8 Q0 X) i" H$ c6 E
28.                 ++ans;
    
29.         }
    
30.     }
    2 P7 _5 b& a9 S$ r4 O# J2 ]  ^
31.     return ans;
    
32. }<u></u>
    / s1 N) |3 o' U, k( Z: ]8 }

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1. 
   * S* R% Q* s0 j' i/ s* j
2. queue<int> Q;
   
3. int prev[__maxNodes];
   7 ^( `, q; H- k' P
4. int Hungarian()
   3 D" N- x: M& ~5 ?+ i
5. {
   ( D5 Z8 j8 n% x; h
6.     int ans = 0;
   6 r- H& B9 [2 {- s2 [
7.     memset(matching, -1, sizeof(matching));
     {* O2 b- B0 \& X
8.     memset(check, -1, sizeof(check));
   ; x; U7 o* A/ G0 @8 v1 D% o
9.     for (int i=0; i<num_left; ++i) {
   
10.         if (matching[i] == -1) {
    / u2 ~6 u: Q3 I6 h9 A8 U
11.             while (!Q.empty()) Q.pop();
    
12.             Q.push(i);
    
13.             prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
    
14.             bool flag = false; // 尚未找到增广路
    
15.             while (!Q.empty() && !flag) {
    : D0 M$ `/ W$ i8 O: q8 M  B
16.                 int u = Q.front();
    & ^7 v; J9 Z  D' r0 ~8 p; b
17.                 for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
    
18.                     int v = edges[*ix].to;
    ) T" {# `2 E4 c
19.                     if (check[v] != i) {
    
20.                         check[v] = i;
    
21.                         Q.push(matching[v]);
    + p" n' Z& I2 W1 V* \' Y6 e( p
22.                         if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
    
23.                             prev[matching[v]] = u;
    ' v2 p8 L8 t! v+ n
24.                         } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
    ) g6 C% H( O7 ~! {
25.                             flag = true;
    
26.                             int d=u, e=v;
    
27.                             while (d != -1) {
    / G$ w4 x" L& F% r2 G8 A- ]
28.                                 int t = matching[d];
    
29.                                 matching[d] = e;
    
30.                                 matching[e] = d;
    * v' I3 S) ]6 O" H; S: R$ m7 J, {
31.                                 d = prev[d];
    0 u! W  c! Q* d3 h% c" a6 g: r
32.                                 e = t;
    
33.                             }
    
34.                         }
    
35.                     }
    
36.                 }
    
37.                 Q.pop();
    
38.             }
    & G  M0 [9 n( f6 k5 x6 H
39.             if (matching[i] != -1) ++ans;
    
40.         }
    , w# U2 a! }3 z/ ^
41.     }
    - p) p# [5 ^" s4 k  Q! D# p
42.     return ans;
    
43. }

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, i1 m- Q$ s9 \匈牙利算法的要点如下

• 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
  
  • 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
  • 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
    5 k2 L6 @2 Z( D& {* X, C, t( J0 f; o
• 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。
  % V# h6 |5 A0 w' B; J( y. T

% K; Y& Y+ Q6 y) m- T1 C' [性能比较
+ u* G, {! p1 @' }  w( ]两个版本的时间复杂度均为O（V·E）。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。补充定义和定理：
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
" }$ x3 P8 x/ @最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
8 m& D, m- c$ T2 m, z最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
& [% b8 Y2 ^3 i* {) P1 D" l最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
, m+ Z+ Y, G/ Q定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）定理2：最大匹配数 = 最大独立数定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
+ O1 B+ n& S1 T3 I

funny， Amazing， Beautiful，

没想到开方函数还有这么段有趣的历史，受教了。