31.1 初学者重要提示
实数FFT仅需用户输入实部即可。输出结果根据FFT的对称性，也仅输出一半的频谱。
! X' k/ k0 A* j4 i31.2 实数浮点FFT说明
( z' H+ v/ n) o% ~3 f5 q; ?CMSIS DSP库里面包含一个专门用于计算实数序列的FFT库，很多情况下，用户只需要计算实数序列即可。计算同样点数FFT的实数序列要比计算同样点数的虚数序列有速度上的优势。

快速的rfft算法是基于混合基cfft算法实现的。
1 W- J* C( ~- w; z1 L3 Z
. h$ \2 E) I, e8 a  b' z/ ^2 W一个N点的实数序列FFT正变换采用下面的步骤实现：
, |/ z+ ]9 }, B0 T; e* [  n# k8 g
# E7 J" Q/ D  s% S

5 k3 P, A2 z7 A2 {由上面的框图可以看出，实数序列的FFT是先计算N/2个实数的CFFT，然后再重塑数据进行处理从而获得半个FFT频谱即可（利用了FFT变换后频谱的对称性）。

7 o8 l3 ]" j1 v' J; W: a3 X一个N点的实数序列FFT逆变换采用下面的步骤实现：

) M4 n9 n6 j2 S2 b# ~

8 B/ `- ]& |& r5 _1 m' W实数FFT支持浮点，Q31和Q15三种数据类型。
& e  f0 k& K: U( [
31.3 单精度函数arm_rfft_fast_f32的使用(含幅频和相频)
3 x! j3 C( U. M, G31.3.1 函数说明
! ~' ^6 s" x8 a1 ^  E函数原型：
0 q7 H( e- z/ c( G4 b0 n3 w1 s
! n5 D8 P- c7 F# ]% y; u' Y" E2 o

1. void arm_rfft_fast_f32(
   
2.   const arm_rfft_fast_instance_f32 * S,
   9 @( H# l( A3 k% o& ^3 D* Q
3.   float32_t * p,
   6 Q: N+ W. i- y# R
4.   float32_t * pOut,
   
5.   uint8_t ifftFlag)

复制代码

# `- f, C  m/ u函数描述：

这个函数用于单精度浮点实数FFT。

& J# |  h9 y3 y& x8 l+ v函数参数：
: v: h6 m  ]& u2 i. [1 N2 e
  第1个参数是封装好的浮点FFT例化，需要用户先调用函数arm_rfft_fast_init_f32初始化，然后供此函数arm_rfft_fast_f32调用。支持32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096点FFT。
比如做1024点FFT，代码如下：
% }/ {/ a( G! ?0 d7 _
% O! R) R7 @# w7 d, Xarm_rfft_fast_instance_f32 S;

8 A; }4 V  t) R1 c( Warm_rfft_fast_init_f32(&S, 1024);

; ]) \# A* {% r( ]arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);

  第2个参数是实数地址，比如我们要做1024点实数FFT，要保证有1024个缓冲。
4 B. J, u  M1 A3 ?% m  K4 U2 q8 _  第3个参数是FFT转换结果，转换结果不是实数了，而是复数，按照实部，虚拟，实部，虚部，依次排列。比如做1024点FFT，这里的输出也会有1024个数据，即512个复位。
/ R- l% \. |  ^; m9 a/ ]  第4个参数用于设置正变换和逆变换，ifftFlag=0表示正变换，ifftFlag=1表示逆变换。
0 Z" J5 C( g+ d- ?2 J6 R6 H
9 _* s$ Q5 ^/ U7 u9 ]5 G2 f2 w' Z31.3.2 使用举例并和Matlab比较
下面通过在开发板上运行这个函数并计算幅频相应，然后再与Matlab计算的结果做对比。
0 `8 n; u& M" X# T" X' ?) m

1. /*
   . v% U5 R* l& y. l
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: arm_rfft_f32_app
   
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f32计算幅频和相频
   ' J% v6 }% `8 j
5. *    形    参：无
   6 C- z8 T: k) ^. j
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   
9. static void arm_rfft_f32_app(void)
   
10. {
    
11.     uint16_t i;
    0 B5 s3 w) z6 _- T# o$ R; V+ g9 Z
12.     arm_rfft_fast_instance_f32 S;
    
13. 
    2 Q+ y5 O6 c5 _8 ?) }5 s
14. 
    
15.     /* 正变换 */
    " [1 N  B4 j7 M
16.     ifftFlag = 0;
    5 M6 w9 i9 f9 X7 d8 b+ X2 I, T
17. 
    
18.     /* 初始化结构体S中的参数 */
    
19.      arm_rfft_fast_init_f32(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    
20. 
    
21.     for(i=0; i<1024; i++)
    4 r. }6 T7 e; G; |
22.     {
    0 Y9 j! C+ a; C
23.         /* 波形是由直流分量，50Hz正弦波组成，波形采样率1024，初始相位60° */
    
24.         testInput_f32<i> </i>= 1 + cos(2*3.1415926f*50*i/1024 + 3.1415926f/3);
    8 Z; j( {  z$ _! M/ E
25.     }
    
26. 
    / F; f0 _5 f4 Y  ^) L& g6 W( _
27.     /* 1024点实序列快速FFT */
    . Y& k8 D% H9 ]1 Y8 s7 S
28.     arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);
    * b1 h- }+ e2 o2 W9 r9 M( q4 U0 t
29. 
    - \8 H" D5 \2 X* U9 \
30.     /* 为了方便跟函数arm_cfft_f32计算的结果做对比，这里求解了1024组模值，实际函数arm_rfft_fast_f32
    
31.        只求解出了512组  
    
32.     */
    
33.      arm_cmplx_mag_f32(testOutput_f32, testOutputMag_f32, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    / n+ _5 f7 Y  k, S" F
34. 
    8 e% S+ b! n" p' F8 G, T4 e: {
35. 
    # z0 ^% R( _6 r" H5 ?. a5 q4 t( x
36.     printf("=========================================\r\n");   
    
37. 
    
38.     /* 求相频 */
    
39.     PowerPhaseRadians_f32(testOutput_f32, Phase_f32, TEST_LENGTH_SAMPLES, 0.5f);
    % M7 W; y/ e: v, C
40. 
    
41. 
    
42.     /* 串口打印求解的幅频和相频 */
    
43.     for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    5 X1 \0 v: b, T( r4 c
44.     {
    
45.         printf("%f, %f\r\n", testOutputMag_f32, Phase_f32);
    8 I4 f) Q4 D. x$ u" a
46.     }
    
47. }

复制代码

% G  G' v5 q* k" k3 O/ e" b' D运行函数arm_rfft_f32_app可以通过串口打印出计算的模值和相角，下面我们就通过Matlab计算的模值和相角跟arm_rfft_fast_f32计算的做对比。

2 u- `& ^% Y6 k$ r对比前需要先将串口打印出的数据加载到Matlab中，并给这个数组起名sampledata，加载方法在前面的教程的第13章13.6小结已经讲解，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：

" ~0 `+ z1 C+ a0 _6 g& X

1. Fs = 1024;               % 采样率
   3 z. p6 U  W3 ~7 [+ O
2. N  = 1024;               % 采样点数
   
3. n  = 0:N-1;              % 采样序列
   
4. t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;      % 时间序列
   
5. f = n * Fs / N;          %真实的频率
   
6. 
   
7. %波形是由直流分量，50Hz正弦波正弦波组成
   4 `; m3 r- G: R
8. x = 1 + cos(2*pi*50*t + pi/3)   ;  
   6 c- |0 D! T( o% S
9. y = fft(x, N);               %对原始信号做FFT变换
   ! G; _) G) X$ U# Q
10. Mag = abs(y);
    
11. 
    . d, p4 G8 d% t0 Z
12. subplot(2,2,1);
    
13. plot(f, Mag);
    3 X: c  W/ ?2 R- T2 D. {: s# G& f
14. title('Matlab计算幅频响应');
    
15. xlabel('频率');
    
16. ylabel('赋值');
    ( d! w/ U3 j" K) }
17. 
    : B7 i" W% @1 O+ s) w' O+ f5 h* A
18. subplot(2,2,2);
    1 \" ?6 |+ H! ]* H) R9 |8 n) F
19. realvalue = real(y);
    ( [% d3 a7 J9 R% c$ Y4 C
20. imagvalue = imag(y);
    8 ?$ U% }  t  U3 P
21. plot(f, atan2(imagvalue, realvalue)*180/pi.*(Mag>=200));
    
22. title('Matlab计算相频响应');
    ' {  A3 {2 ~+ V, A9 ^5 ?
23. xlabel('频率');
    
24. ylabel('相角');
    
25. 
    
26. subplot(2,2,3);
    6 i# V/ O+ t* r+ D
27. plot(f, sampledata1);  %绘制STM32计算的幅频相应
    
28. title('STM32计算幅频响应');
    
29. xlabel('频率');
    
30. ylabel('赋值');
    6 m9 U: l9 i) ]" |# W! D6 u0 T
31. 
    $ W/ b, m- [* F9 i4 C+ ^) z
32. subplot(2,2,4);
    - b8 o# D- ]- Q* d" B
33. plot(f, sampledata2);   %绘制STM32计算的相频相应
    
34. title('STM32计算相频响应');
    
35. xlabel('频率');
    
36. ylabel('相角');

复制代码

- f# o1 V# s9 ?/ N3 d% {7 J7 r$ F运行Matlab后的输出结果如下：
5 e! B8 @( ?; O+ o2 D! u: S1 A+ S3 k

0 T, c2 X3 }% p0 d8 @从上面的对比结果中可以看出，从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的Matlab和函数arm_rfft_fast_f32计算的结果基本是一直的。幅频响应求出的幅值和相频响应中的求出的初始相角都是没问题的。

% r8 L8 f- f' H8 L; F- l  }0 g31.4 双精度函数arm_rfft_fast_f64的使用(含幅频和相频)
+ Y7 W  l" F5 M. e31.4.1 函数说明
函数原型：
7 n# I. ]- |9 Q9 e8 }+ [) Z
* `( o! [% S+ C3 S

1. void arm_rfft_fast_f64(
   % N8 B8 L. E# H, X3 [& k% D
2.   arm_rfft_fast_instance_f64 * S,
   # ?+ U. Z7 _% @. _3 y" q6 X
3.   float64_t * p,
   ! }& A2 }( o  A" p! u' l! F
4.   float64_t * pOut,
   & D6 O( e# H/ D! c3 M
5.   uint8_t ifftFlag)

复制代码

函数描述：
0 d9 f. o& a2 W0 u9 c
这个函数用于双精度浮点实数FFT。
2 Q1 R( j7 X* j" I" \; W
/ x. q2 B% L3 [* {. f函数参数：
8 P( ~( R7 w' ]1 A
" s* p5 w1 w0 }0 |3 y  第1个参数是封装好的浮点FFT例化，需要用户先调用函数arm_rfft_fast_init_f64初始化，然后供此函数arm_rfft_fast_f64调用。支持32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096点FFT。
" k9 \% |* x0 x: V% P比如做1024点FFT，代码如下：
0 ^: q8 j, G+ Z- c5 t: c
arm_rfft_fast_instance_f64 S;

arm_rfft_fast_init_f64(&S, 1024);
. D6 ]: u6 _7 ?2 o
arm_rfft_fast_f64(&S, testInput_f64, testOutput_f64, ifftFlag);
2 F1 H$ }7 t7 ]3 _
5 ~  Y4 e2 V! Q" M) k0 e$ j3 `  第2个参数是实数地址，比如我们要做1024点实数FFT，要保证有1024个缓冲。
' i, J$ Z" C; v9 p  第3个参数是FFT转换结果，转换结果不是实数了，而是复数，按照实部，虚拟，实部，虚部，依次排列。比如做1024点FFT，这里的输出也会有1024个数据，即512个复位。
2 l5 S" w9 t0 m9 e  第4个参数用于设置正变换和逆变换，ifftFlag=0表示正变换，ifftFlag=1表示逆变换
1 f& C' t" S, {% i: _
) _* X$ P# B  I3 k$ A31.4.2 使用举例并和Matlab比较
下面通过在开发板上运行这个函数并计算幅频相应，然后再与Matlab计算的结果做对比。
9 D) G8 f% w) r! ~( [. A
3 Q6 ~1 P/ E& X7 x1 d" n

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: arm_rfft_f64_app
   
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f64计算幅频和相频
   # q1 s% Z$ A' }6 b! U
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   ' Q+ _8 o7 ?/ Q7 X) z
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   5 F! ]1 m8 I2 P7 \, ]
9. static void arm_rfft_f64_app(void)
   % a  K: ]- _1 C$ I/ Z4 O3 A
10. {
    $ R6 Q: q: z- |) e2 {0 o7 ^) D
11.     uint16_t i;
    0 w8 L- J! S1 b) j, @2 |  |
12.     float64_t lX,lY;
    
13.     arm_rfft_fast_instance_f64 S;
    - I) [2 I5 b) ?. V% C
14. 
    : `+ O( T- j2 k+ ]  ]& A+ y# R
15. 
    0 g3 s' \$ `' N0 h# \4 x
16.     /* 正变换 */
      k+ l; t# N' C# P7 A
17.     ifftFlag = 0;
    
18. 
    
19.     /* 初始化结构体S中的参数 */
    
20.      arm_rfft_fast_init_f64(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    7 _# {5 C: U* F5 i' g/ U
21. 
    5 w0 n$ b" }+ _! i- W* Z9 {
22.     for(i=0; i<1024; i++)
    
23.     {
    5 e2 Z" p9 f& v+ U* W) m
24.         /* 波形是由直流分量，50Hz正弦波组成，波形采样率1024，初始相位60° */
    
25.         testInput_f64<span style="font-style: italic;"><span style="font-style: normal;"> = 1 + cos(2*3.1415926*50*i/1024 + 3.1415926/3);
    
26.     }
    . s; P* v) W( Y  D4 l! W7 s  {
27. 
    8 p) w7 K% }5 U6 N) ~, n- X
28.     /* 1024点实序列快速FFT */
    
29.     arm_rfft_fast_f64(&S, testInput_f64, testOutput_f64, ifftFlag);
    6 y. O' f: r5 N# H- G. A
30. 
    
31.     /* 求解模值  */
    . y! d' Z. m- c; \/ t! q6 w
32.     for (i =0; i < TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    ) n, i, n4 K- {! T) N
33.     {
    
34.          lX = testOutput_f64[2*i];                    /* 实部*/
    
35.         lY = testOutput_f64[2*i+1];                   /* 虚部 */  
    ) N: g/ b0 P8 d3 o5 ~) A- n: A% v
36.         testOutputMag_f64</span><span style="font-style: normal;"> = sqrt(lX*lX+ lY*lY);   /* 求模 */
    5 N, L% t; h% D8 Y
37.     }
    
38. 
    : N6 {, K! [5 o. C+ k) T9 f
39. 
    * y! a* t6 V0 \6 z3 b" d
40.     printf("=========================================\r\n");   
    
41. 
    : E: o& j( ?7 U: ^8 |6 L' \" {: N
42.     /* 求相频 */
    
43.     PowerPhaseRadians_f64(testOutput_f64, Phase_f64, TEST_LENGTH_SAMPLES, 0.5);
    - t1 C) ]$ E* s% W* a
44. 
    6 L+ R: u; u. f% J% V# p* C
45. 
    * k% t5 r- {2 X
46.     /* 串口打印幅值和相频 */
    * m, |5 V- _" H0 o* H
47.     for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    
48.     {
    
49.         printf("%.11f, %.11f\r\n", testOutputMag_f64</span><span style="font-style: normal;">, Phase_f64</span><span style="font-style: normal;">);
    / u' U" E" g- D$ f0 g
50.     }   
    
51. 
    
52. }</span></span>

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运行函数arm_rfft_f64_app可以通过串口打印出计算的模值和相角，下面我们就通过Matlab计算的模值和相角跟arm_rfft_fast_f32计算的做对比。
) U, v2 }1 b8 O6 l
; Y# K$ t8 u1 `对比前需要先将串口打印出的数据加载到Matlab中，并给这个数组起名sampledata，加载方法在前面的教程的第13章13.6小结已经讲解，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
4 C. R; z3 n; l; `4 l
4 \" Z$ y& i3 P' {

1. Fs = 1024;               % 采样率
   
2. N  = 1024;               % 采样点数
   
3. n  = 0:N-1;              % 采样序列
   % G- |7 H* ]3 @4 n: r6 A% @. @7 y4 e
4. t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;      % 时间序列
   
5. f = n * Fs / N;          %真实的频率
   
6. 
   $ E% [2 [" q& A' J* b1 D
7. %波形是由直流分量，50Hz正弦波正弦波组成
   
8. x = 1 + cos(2*pi*50*t + pi/3)   ;  
   ) U3 v* @: b' h% ^" H- j0 i1 j% L
9. y = fft(x, N);               %对原始信号做FFT变换
   2 h# Z# h' d  e: y2 B0 T3 |7 V
10. Mag = abs(y);
    ) K( l2 h( [2 \1 p
11. 
    
12. subplot(2,2,1);
    : d" D. z  S  x" z! v2 _
13. plot(f, Mag);
    
14. title('Matlab计算幅频响应');
    
15. xlabel('频率');
    
16. ylabel('赋值');
    
17. 
    
18. subplot(2,2,2);
    ( M* [7 X/ E2 ]+ C
19. realvalue = real(y);
    
20. imagvalue = imag(y);
    5 X$ A, |7 r, A2 ~# R$ \" X, R
21. plot(f, atan2(imagvalue, realvalue)*180/pi.*(Mag>=200));
    
22. title('Matlab计算相频响应');
    
23. xlabel('频率');
    0 _- e: i+ W" C( ]6 H0 A4 A: t
24. ylabel('相角');
    7 Q5 H$ P; }0 S/ M- ~
25. 
    8 `, z. i, S3 `. x3 X
26. subplot(2,2,3);
    
27. plot(f, sampledata1);  %绘制STM32计算的幅频相应
    
28. title('STM32计算幅频响应');
    " h7 E$ p* ?. g5 n  k
29. xlabel('频率');
    
30. ylabel('赋值');
    , L2 ~  x, t  ~  h% T
31. 
    ; l1 V5 h; V* e0 M
32. subplot(2,2,4);
    $ H" ~+ n7 x7 i4 n2 H
33. plot(f, sampledata2);   %绘制STM32计算的相频相应
    . J: I8 F3 W+ f" z1 a
34. title('STM32计算相频响应');
    * V$ U4 D! B8 d5 m' ?; ]
35. xlabel('频率');
    
36. ylabel('相角');

复制代码

; c/ Z/ y9 [+ r" b6 x运行Matlab后的输出结果如下：
. `# _4 X, q! n4 s" p
7 R& i0 ]& w; A5 h+ V' }

1 X' w9 c9 e2 r* Q8 ]: x) d6 _& S
+ [( d" |. S6 z' M& R4 C6 @从上面的对比结果中可以看出，从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的Matlab和函数arm_rfft_fast_f64计算的结果基本是一直的。幅频响应求出的幅值和相频响应中的求出的初始相角都是没问题的。
5 R0 `6 r+ c; D$ y' y
5 A( g' q4 Y  Y, b9 M31.5 实验例程说明（MDK）
* I9 p; D$ c3 H4 @2 P$ P! E配套例子：
V7-221_实数浮点FTT(支持单精度和双精度)
8 p( Z% F6 D; J2 r5 e
+ F/ L4 `1 z  V- j, n# X$ ^实验目的：
学习实数浮点FFT，支持单精度浮点和双精度浮点
1 D4 M) ~4 ?/ T6 l5 `2 m8 m
: |6 C' K/ H4 s6 t; S实验内容：
' H& C/ u3 e  H. r, n启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
0 p; D# \$ y' f! M3 d* S  H1 \
+ c/ J: [, q5 P; e, s7 i2 z使用AC6注意事项
特别注意附件章节C的问题
: ]7 U' A; \% e* o, Y; Y* d$ t5 ^  n3 E
; h: T4 k2 S$ L2 N上电后串口打印的信息：

波特率 115200，数据位 8，奇偶校验位无，停止位 1。

  w4 {; i& N# ]  E  U1 b

! i9 |: \  F; L0 u
* U3 B; P2 b9 R# aRTT方式打印信息：

4 Y# B& ]: n% h! ?4 y# g
3 k) V2 e& c! d0 h0 r$ q程序设计：

  系统栈大小分配：

, d" O. w; J) q: K  X% [

# x3 H2 }6 m3 B5 p
  RAM空间用的DTCM：
) R8 r  X# J( K/ f: [1 c
3 z) G9 R7 m5 S0 p. f- r

( Z  j( a' Y& z! ^4 r/ K" r+ I
! l& C2 j  y  G  硬件外设初始化
- j( l( e( W+ s+ N
- R8 j* K6 t- o7 a- v. g硬件外设的初始化是在 bsp.c 文件实现：

' k1 [9 `/ U" \) r

1. /*
   $ b3 Y+ Q% v; H
2. *********************************************************************************************************
   2 g3 U0 r7 w0 r3 m
3. *    函 数 名: bsp_Init
   
4. *    功能说明: 初始化所有的硬件设备。该函数配置CPU寄存器和外设的寄存器并初始化一些全局变量。只需要调用一次
   
5. *    形    参：无
   3 \" N9 a) @& v0 w9 L
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   4 f/ Q+ m0 n+ Q) K
8. */
   
9. void bsp_Init(void)
   ' D0 Z+ o1 g+ M. d  W/ u: o1 B
10. {
    0 K0 M* Q8 X& P  `
11.     /* 配置MPU */
    , S; e+ W* n1 I7 ^
12.     MPU_Config();
    
13. 
    6 M% B7 O3 U+ e3 w4 W
14.     /* 使能L1 Cache */
    ) }, R: g( g5 ~5 M2 }: M/ H) @
15.     CPU_CACHE_Enable();
    
16. 
    
17.     /*
    9 w# k/ R0 p& }4 s2 N. n
18.        STM32H7xx HAL 库初始化，此时系统用的还是H7自带的64MHz，HSI时钟:
    
19.        - 调用函数HAL_InitTick，初始化滴答时钟中断1ms。
    
20.        - 设置NVIC优先级分组为4。
    9 S3 J1 m$ E3 D1 S) Y# ?
21.      */
    , D" _/ b. ]) x9 a$ h" r( R& u$ a
22.     HAL_Init();
    
23. 
    
24.     /*
    - t5 a7 ~! X* n! k3 J" p% j
25.        配置系统时钟到400MHz
    
26.        - 切换使用HSE。
    
27.        - 此函数会更新全局变量SystemCoreClock，并重新配置HAL_InitTick。
    
28.     */
    
29.     SystemClock_Config();
    - f  i3 @1 v) c' c: ~7 j4 h
30. 
    
31.     /*
    
32.        Event Recorder：
    
33.        - 可用于代码执行时间测量，MDK5.25及其以上版本才支持，IAR不支持。
    6 _0 j5 X5 F8 J- [- O
34.        - 默认不开启，如果要使能此选项，务必看V7开发板用户手册第8章
    
35.     */   
    
36. #if Enable_EventRecorder == 1  
    
37.     /* 初始化EventRecorder并开启 */
    
38.     EventRecorderInitialize(EventRecordAll, 1U);
    , i" J. H* c& G; ~- A: s1 s
39.     EventRecorderStart();
    
40. #endif
    
41. 
    . ], E- m$ V% V' [5 c5 h! c
42.     bsp_InitKey();        /* 按键初始化，要放在滴答定时器之前，因为按钮检测是通过滴答定时器扫描 */
    : c% M: Y. a8 ?+ C
43.     bsp_InitTimer();      /* 初始化滴答定时器 */
    5 o8 d5 O6 z+ q# \0 q* r
44.     bsp_InitUart();    /* 初始化串口 */
    
45.     bsp_InitExtIO();    /* 初始化FMC总线74HC574扩展IO. 必须在 bsp_InitLed()前执行 */   
    # C7 v. z9 _8 y
46.     bsp_InitLed();        /* 初始化LED */   
    
47. }

复制代码

% l; i/ b" A/ ~) F. ]/ T- G  MPU配置和Cache配置：

数据Cache和指令Cache都开启。配置了AXI SRAM区（本例子未用到AXI SRAM），FMC的扩展IO区。

& J) `5 Q/ x& C# t- v

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   4 ?2 j6 H9 ^" D
3. *    函 数 名: MPU_Config
   + Z5 G- I: m; y+ t
4. *    功能说明: 配置MPU
   : i  @& O3 ?+ H: X4 \, P6 y
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   4 F) k2 h/ C* t3 `3 G6 w
8. */
   1 M5 f* S# D! Y. F
9. static void MPU_Config( void )
   
10. {
    3 ]/ z- B+ l% s5 e" U# p
11.     MPU_Region_InitTypeDef MPU_InitStruct;
    
12. 
    
13.     /* 禁止 MPU */
    
14.     HAL_MPU_Disable();
    
15. 
    * e/ u! ~2 H; _' s4 C  b
16.     /* 配置AXI SRAM的MPU属性为Write back, Read allocate，Write allocate */
    
17.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    " c1 F' c9 u. E8 B* a" L
18.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x24000000;
    
19.     MPU_InitStruct.Size             = MPU_REGION_SIZE_512KB;
    2 A4 i3 J/ m( U8 j- V
20.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
21.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    / Q1 S7 s2 N6 q) ?$ c2 J- G
22.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_CACHEABLE;
    0 P: h) Y5 y8 G
23.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    5 z4 K' T- I8 a" d
24.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER0;
    0 _5 O" [* f  E5 C% ~) G- h
25.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL1;
    
26.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    
27.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    / V, i% _6 p, x2 G  a+ f' V
28. 
    
29.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
30. 
      O) {# G9 ]" x2 F/ T2 i
31. 
    % I# U1 l! t# g0 O+ s( X
32.     /* 配置FMC扩展IO的MPU属性为Device或者Strongly Ordered */
    
33.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
      V& J' g- ]* J7 M# l% o+ }3 Z
34.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x60000000;
    * ?8 _! Q) z/ }8 M5 {# o
35.     MPU_InitStruct.Size             = ARM_MPU_REGION_SIZE_64KB;   
    
36.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
37.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    ) f+ u% q3 H1 P% N/ f
38.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_NOT_CACHEABLE;   
    4 L$ f% V+ w2 ~: T  B4 F6 n/ @& [
39.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    ! n$ ~1 C( ~" T+ ^8 i
40.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER1;
    
41.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL0;
    
42.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    ' \, u. t5 O6 s& r: s. y4 j
43.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    * e: h  w/ v0 K) M. G- t
44. 
    + c1 f9 @3 v0 m8 c5 J2 `
45.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    : W6 ^+ D) o1 T4 V5 `
46. 
    
47.     /*使能 MPU */
    # `6 \4 B4 U/ \; h9 m
48.     HAL_MPU_Enable(MPU_PRIVILEGED_DEFAULT);
    ' B6 q  ^" r3 `: O5 D3 M1 Q0 a/ v
49. }
      B/ B' v% Z; E3 h) i
50. 
    
51. /*
    
52. *********************************************************************************************************
    - D" d" d! ?0 ^  t3 z3 R
53. *    函 数 名: CPU_CACHE_Enable
    
54. *    功能说明: 使能L1 Cache
    
55. *    形    参: 无
    2 ~' y  n& t* }5 ?4 X' `
56. *    返 回 值: 无
    
57. *********************************************************************************************************
    ( M$ j; C+ G7 F! w0 }3 b# ?% G
58. */
    8 H6 j* Y6 h* F% |, D
59. static void CPU_CACHE_Enable(void)
    ' I+ s! A+ }9 N$ x. I9 a
60. {
    1 E( P3 z& S! V& O% d. e& I
61.     /* 使能 I-Cache */
    , [, y; B5 v+ _) A' G& m2 b7 Q1 D3 _
62.     SCB_EnableICache();
    
63. 
    8 Q4 T  f$ U5 N3 F( `
64.     /* 使能 D-Cache */
    
65.     SCB_EnableDCache();
    , U8 ]$ f( y( @
66. }

复制代码

, `* J8 X; z6 V: R$ J4 r7 R  主功能：
8 e& r- m; I. `5 _$ O& w7 m
主程序实现如下操作：

3 P! h3 s! a% }" e  b) s% k  启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
0 s/ |: G- [/ H* Z4 C/ [; R0 F7 w  按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
  按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
* C9 L9 b5 w% Y6 A1 O

1. /*
   9 H+ `, j) v4 x3 I5 l) |
2. *********************************************************************************************************
   ; s7 i2 f; Z" n; Y+ A
3. *    函 数 名: main
   % v' h: O* x8 G
4. *    功能说明: c程序入口
   
5. *    形    参: 无
   & \, }+ y1 I: Q! x, M
6. *    返 回 值: 错误代码(无需处理)
   6 D: k/ @9 E) b
7. *********************************************************************************************************
   ! c$ b- `# c' L+ x9 G/ q
8. */
   + O. X. X6 R9 G+ q4 `
9. int main(void)
   ; ]( H: M, }5 i' `0 _2 \
10. {
      }" l) a/ D/ |- d
11.     uint8_t ucKeyCode;        /* 按键代码 */
    
12. 
    
13. 
    
14.     bsp_Init();        /* 硬件初始化 */
    ) u+ Z+ d' i- a9 G3 X) r0 r
15.     PrintfLogo();    /* 打印例程信息到串口1 */
    
16. 
    : R& |$ B3 V, D: b
17.     PrintfHelp();    /* 打印操作提示信息 */
    6 ~& s0 U- F* ?$ h8 V, }) u- y( r
18. 
    6 l$ P5 \: X! a  c; h" ^
19. 
    ( y3 V5 N6 t) d: X3 |# Z
20.     bsp_StartAutoTimer(0, 100);    /* 启动1个100ms的自动重装的定时器 */
    6 q% x/ Z- F  l/ X! M# u
21. 
    
22.     /* 进入主程序循环体 */
    
23.     while (1)
    1 S2 l. i; e8 q# ^
24.     {
    # Z- }- S* _7 J  ^
25.         bsp_Idle();        /* 这个函数在bsp.c文件。用户可以修改这个函数实现CPU休眠和喂狗 */
    
26. 
    
27. 
    3 i8 M' H6 l$ Z- I- ^
28.         if (bsp_CheckTimer(0))    /* 判断定时器超时时间 */
    / ?  i: |8 A5 y' P' L- g
29.         {
      Q" g) \! }# `: p" @" k3 q1 f( l
30.             /* 每隔100ms 进来一次 */
    
31.             bsp_LedToggle(4);    /* 翻转LED2的状态 */   
    
32.         }
    
33. 
    
34.         ucKeyCode = bsp_GetKey();    /* 读取键值, 无键按下时返回 KEY_NONE = 0 */
    
35.         if (ucKeyCode != KEY_NONE)
    8 \8 h; T5 ~" o. ^, D" K% \  N2 ?
36.         {
    1 A! s3 u. }' r) c
37.             switch (ucKeyCode)
    
38.             {
    
39.                 case KEY_DOWN_K1:            /* K1键按下 */
    $ }7 b1 R. Q2 V4 p
40.                     arm_rfft_f32_app();
    8 s9 }% k7 A1 U5 N; p
41.                     break;
    
42. 
    ! _7 t' s3 X$ U; O+ V/ R" A/ d
43.                 case KEY_DOWN_K2:            /* K2键按下 */
    , R1 I/ Q8 N+ U
44.                     arm_rfft_f64_app();
    
45.                     break;
    
46. 
    & p9 y2 x6 u/ A2 f8 f8 I8 V- S% P
47. 
    
48.                 default:
    1 z, X6 C& X% L! t" m* E
49.                     /* 其它的键值不处理 */
    4 Z- ?( E8 Q; S3 [4 g
50.                     break;
    
51.             }
    
52.         }
    8 t( ~" P! W$ H$ S* L0 \, s* i) }
53. 
    ; ~) c9 j6 }  P3 O# c
54.     }
    0 x: L1 @) x, C, M4 _0 y
55. }

复制代码

" O0 z8 _6 ^3 h) l/ N9 o31.6 实验例程说明（IAR）
配套例子：
V7-221_实数浮点FTT(支持单精度和双精度)

实验目的：
2 S! g( e/ }8 c+ R1 O! i学习实数浮点FFT，支持单精度浮点和双精度浮点

% g3 I8 e* D% C+ v9 ~  S) _实验内容：
# S# w- j9 o4 d% q5 Q! I) C, y启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
$ B8 Y9 V1 ]+ l, _按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
: ^- [6 L2 |) a, Q3 L4 d按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。

上电后串口打印的信息：

波特率 115200，数据位 8，奇偶校验位无，停止位 1。

' `) l/ G( M& F' K5 J) t

RTT方式打印信息：

/ _5 M$ J9 t( }8 w; i2 p: {

/ u9 L3 U6 w2 C( q程序设计：

  系统栈大小分配：

$ x7 Z0 Y  u; i; u* {( Y: H
  RAM空间用的DTCM：

6 d$ s6 y1 D% f, X7 {# I  d  硬件外设初始化

: K# ?+ n! }# {$ J. {+ C# o' F硬件外设的初始化是在 bsp.c 文件实现：

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: bsp_Init
   
4. *    功能说明: 初始化所有的硬件设备。该函数配置CPU寄存器和外设的寄存器并初始化一些全局变量。只需要调用一次
     l6 O7 c3 m# N5 s% x' ]
5. *    形    参：无
   * B5 y0 f" T7 m4 Y7 D
6. *    返 回 值: 无
   4 H. v5 R, D, X4 k& f4 }5 |% T
7. *********************************************************************************************************
   * L" i1 s: X6 o8 P( @7 F9 V" l( X
8. */
   3 F/ H7 T- b( O# S' ~6 s* T" v4 \
9. void bsp_Init(void)
   
10. {
    
11.     /* 配置MPU */
    
12.     MPU_Config();
    3 g& f& v0 G- H0 l, @; \8 K: e7 y$ T
13. 
    ; h+ A3 L" H8 [) J; j7 E, E5 e
14.     /* 使能L1 Cache */
    
15.     CPU_CACHE_Enable();
    : c0 z. U2 ~$ g& t9 z) n
16. 
      N8 p; B! C  H& f
17.     /*
    ! u1 b+ B. X: C4 N: f  v% r
18.        STM32H7xx HAL 库初始化，此时系统用的还是H7自带的64MHz，HSI时钟:
    
19.        - 调用函数HAL_InitTick，初始化滴答时钟中断1ms。
    
20.        - 设置NVIC优先级分组为4。
    $ E' }0 w2 ?6 x
21.      */
    
22.     HAL_Init();
    
23. 
    
24.     /*
    
25.        配置系统时钟到400MHz
    
26.        - 切换使用HSE。
    % e, d! h. A. J, q; e  n! \6 k# n
27.        - 此函数会更新全局变量SystemCoreClock，并重新配置HAL_InitTick。
    % X$ T% h, I7 s% g; J1 I: A
28.     */
    " \, C/ [8 v! H/ _
29.     SystemClock_Config();
    7 x5 h$ P8 b. Q: b. `8 J
30. 
    
31.     /*
    
32.        Event Recorder：
    
33.        - 可用于代码执行时间测量，MDK5.25及其以上版本才支持，IAR不支持。
    
34.        - 默认不开启，如果要使能此选项，务必看V7开发板用户手册第8章
      c, u; g9 A; B9 I
35.     */   
    5 ^* N5 \5 n; ^+ _
36. #if Enable_EventRecorder == 1  
    ' l; t+ y! T0 N* c8 c- s5 r
37.     /* 初始化EventRecorder并开启 */
    
38.     EventRecorderInitialize(EventRecordAll, 1U);
    
39.     EventRecorderStart();
    
40. #endif
    ) b# m" R/ e% a" V3 p. M/ C
41. 
    
42.     bsp_InitKey();        /* 按键初始化，要放在滴答定时器之前，因为按钮检测是通过滴答定时器扫描 */
    / \( s) J7 {5 F* z* E# Q$ i2 Y
43.     bsp_InitTimer();      /* 初始化滴答定时器 */
    
44.     bsp_InitUart();    /* 初始化串口 */
    ) \4 D8 ^0 E$ H8 V/ P( E- y
45.     bsp_InitExtIO();    /* 初始化FMC总线74HC574扩展IO. 必须在 bsp_InitLed()前执行 */   
    
46.     bsp_InitLed();        /* 初始化LED */   
    
47. }

复制代码

MPU配置和Cache配置：

: W5 R! B! o5 A* q9 f数据Cache和指令Cache都开启。配置了AXI SRAM区（本例子未用到AXI SRAM），FMC的扩展IO区。
* }- V0 J; g9 ?+ C4 `/ f  U. k
5 y; L2 n7 p$ l

1. /*
   % s7 p0 {( [$ P0 a1 W' \4 ^0 G
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: MPU_Config
   4 k3 k! v7 z1 r" b
4. *    功能说明: 配置MPU
   : c. ^0 a0 @7 R. t1 X9 y, n1 e
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 无
   7 w& C7 P) h. u- E
7. *********************************************************************************************************
   - i8 i- |! Q+ ^0 p  P9 E+ l
8. */
   
9. static void MPU_Config( void )
   
10. {
    * o' d/ g( i: Q% S
11.     MPU_Region_InitTypeDef MPU_InitStruct;
    
12. 
    
13.     /* 禁止 MPU */
    
14.     HAL_MPU_Disable();
    
15. 
    8 x2 d# ^0 V% i4 c* a
16.     /* 配置AXI SRAM的MPU属性为Write back, Read allocate，Write allocate */
    2 U4 m  n9 M  T6 w1 Z& [6 _
17.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    
18.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x24000000;
    2 g4 B+ x* z9 a( |6 O0 A; K
19.     MPU_InitStruct.Size             = MPU_REGION_SIZE_512KB;
    
20.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    , X' J+ {$ U1 C( u
21.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    # I; @1 a. x" ?( f+ m( p6 `
22.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_CACHEABLE;
    
23.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    
24.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER0;
    9 `# M; w  x: w' t- v7 n( n
25.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL1;
    
26.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    6 x6 w& v% v' j8 n6 u
27.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    ; ]' {% V% d  j8 c
28. 
    $ e  L% S  n) h5 u4 h* R' j6 I5 v
29.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    % }! u4 z( J9 l8 o  e  m
30. 
    
31. 
    
32.     /* 配置FMC扩展IO的MPU属性为Device或者Strongly Ordered */
    
33.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    , j4 o' H) `- ]3 c. |% F( m" J+ `
34.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x60000000;
    8 [# k# ?4 {+ Y9 T
35.     MPU_InitStruct.Size             = ARM_MPU_REGION_SIZE_64KB;   
    ; G- [! r' B) [
36.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
37.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    
38.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_NOT_CACHEABLE;   
    
39.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    
40.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER1;
    8 s" g  }! K  l$ k
41.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL0;
    8 W+ c( L% {  e8 W+ ^. Z
42.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    
43.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    
44. 
    % d+ m( a# r" e" O* ]
45.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
46. 
    4 V: L2 d) ?5 \( o
47.     /*使能 MPU */
    
48.     HAL_MPU_Enable(MPU_PRIVILEGED_DEFAULT);
    ) v- Y, W# ]+ A7 U; G! A0 h: j
49. }
    0 m, _. Y+ q5 y. c
50. 
    / S/ ^( v( f( s2 Q, I
51. /*
    
52. *********************************************************************************************************
    
53. *    函 数 名: CPU_CACHE_Enable
    ) \1 _7 h; B/ [- l' F
54. *    功能说明: 使能L1 Cache
    
55. *    形    参: 无
    4 L$ _( Z' I7 X$ e: q
56. *    返 回 值: 无
    7 ^8 O# m+ T/ ~* k
57. *********************************************************************************************************
    6 q1 S# D( L. T/ H; e: q
58. */
    
59. static void CPU_CACHE_Enable(void)
    9 _4 l* V6 m& [
60. {
    2 K/ K8 s" K3 \5 j7 S% c
61.     /* 使能 I-Cache */
    ( E- I1 ]# V& }6 M! a" _
62.     SCB_EnableICache();
    
63. 
    ' J+ |" N9 O/ p; [" b& u
64.     /* 使能 D-Cache */
    # T% G  Z7 `! K4 W1 L' R! ~( i# p( R! M; V
65.     SCB_EnableDCache();
    - U) f8 }2 _; l6 l
66. }

复制代码

8 `& z; S' f1 `4 l  主功能：

主程序实现如下操作：
% L% }3 t. C  l7 {% Z# j
2 |5 G6 a# d  m0 ~  启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
" h$ h1 {0 w5 F+ s% M) X  按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
  按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
3 l4 o$ X( j# n3 }: k2 q1 ^

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: main
   
4. *    功能说明: c程序入口
     O: \% Z( B  B. r" c* s6 x, b
5. *    形    参: 无
   7 H  K$ I: F( Q2 f# F( F" ^: @  d- f# H
6. *    返 回 值: 错误代码(无需处理)
   9 B5 q* _) _& \
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   ( h# k1 H. \* _% e) [& {
9. int main(void)
   
10. {
    
11.     uint8_t ucKeyCode;        /* 按键代码 */
    ( _8 h: B/ T; n. A) r
12. 
    
13. 
    
14.     bsp_Init();        /* 硬件初始化 */
    
15.     PrintfLogo();    /* 打印例程信息到串口1 */
    % B2 B+ C! `. X7 `
16. 
    
17.     PrintfHelp();    /* 打印操作提示信息 */
    
18. 
    
19. 
    
20.     bsp_StartAutoTimer(0, 100);    /* 启动1个100ms的自动重装的定时器 */
    
21. 
    ( ]0 \( s. d0 A; @* q0 N3 L4 `! s
22.     /* 进入主程序循环体 */
    6 @+ v# j8 f' V4 k7 i8 _5 f+ r4 _% M
23.     while (1)
    + S' B( G! A/ t" ~5 a
24.     {
    
25.         bsp_Idle();        /* 这个函数在bsp.c文件。用户可以修改这个函数实现CPU休眠和喂狗 */
    ' Q# m7 ~' E* K; ~& h. G$ f+ W: e
26. 
    + a$ t9 X! A0 E& ?3 v& r0 {
27. 
    
28.         if (bsp_CheckTimer(0))    /* 判断定时器超时时间 */
    ; V8 \, c  p3 c8 T3 g
29.         {
    
30.             /* 每隔100ms 进来一次 */
    ' f3 ?+ }7 K  J; U* C3 Y/ H
31.             bsp_LedToggle(4);    /* 翻转LED2的状态 */   
    
32.         }
    5 K7 u1 t7 N8 R
33. 
    
34.         ucKeyCode = bsp_GetKey();    /* 读取键值, 无键按下时返回 KEY_NONE = 0 */
    5 m) }" I! o5 l9 r* V0 L# t
35.         if (ucKeyCode != KEY_NONE)
    
36.         {
    + U6 q- U3 I% z1 U: I# c5 p7 V
37.             switch (ucKeyCode)
    
38.             {
    
39.                 case KEY_DOWN_K1:            /* K1键按下 */
    
40.                     arm_rfft_f32_app();
    
41.                     break;
    
42. 
    
43.                 case KEY_DOWN_K2:            /* K2键按下 */
    
44.                     arm_rfft_f64_app();
    
45.                     break;
    
46. 
    - S8 J! Q# r' u0 T+ h# x* B, \
47. 
    
48.                 default:
    
49.                     /* 其它的键值不处理 */
    
50.                     break;
    
51.             }
    
52.         }
    
53. 
    4 w) C  p7 x& o7 f4 H0 C
54.     }
    7 s  ~2 n) e! g4 K1 p9 E
55. }

复制代码

! u& a, z/ d* Y/ e& Q" [. J( H+ N31.7 总结
8 f+ @; x7 g! ^8 T9 R+ i% G! ?本章节设计到实数FFT实现，有兴趣的可以深入了解源码的实现。