31.1 初学者重要提示
& C) c. s2 h2 e! x实数FFT仅需用户输入实部即可。输出结果根据FFT的对称性，也仅输出一半的频谱。
31.2 实数浮点FFT说明
CMSIS DSP库里面包含一个专门用于计算实数序列的FFT库，很多情况下，用户只需要计算实数序列即可。计算同样点数FFT的实数序列要比计算同样点数的虚数序列有速度上的优势。
) n  D4 Z- R+ F9 o  v- H
快速的rfft算法是基于混合基cfft算法实现的。

. ?+ x( I% _7 s% f+ Y一个N点的实数序列FFT正变换采用下面的步骤实现：

7 z; P( G3 `; v9 f3 Q8 y4 w& ?
. T* N$ h: u! i0 U) x由上面的框图可以看出，实数序列的FFT是先计算N/2个实数的CFFT，然后再重塑数据进行处理从而获得半个FFT频谱即可（利用了FFT变换后频谱的对称性）。
9 m! m8 Q' G) `0 \$ l
一个N点的实数序列FFT逆变换采用下面的步骤实现：
: h0 k4 a; U$ a9 y* r3 F0 X

实数FFT支持浮点，Q31和Q15三种数据类型。

# V- O* L2 A+ _31.3 单精度函数arm_rfft_fast_f32的使用(含幅频和相频)
31.3.1 函数说明
函数原型：
9 b- w6 M- A& c$ ]* B0 [( `
& ?% J" u4 z* y7 Y$ T

1. void arm_rfft_fast_f32(
   + u* K' S' ?- p9 G
2.   const arm_rfft_fast_instance_f32 * S,
   , A  Q( W1 C+ A% k
3.   float32_t * p,
   5 \3 c+ z6 W0 O& |
4.   float32_t * pOut,
   3 [3 ?3 w* @+ l' q
5.   uint8_t ifftFlag)

复制代码

+ X7 `2 q; E# Y, b函数描述：
% n1 G8 D0 ~8 j  b" @9 T7 E% j
4 ?1 ?( b0 P/ x: K这个函数用于单精度浮点实数FFT。

. \* `5 I+ M8 B函数参数：
7 I% |, R; A; Q  V1 `
  第1个参数是封装好的浮点FFT例化，需要用户先调用函数arm_rfft_fast_init_f32初始化，然后供此函数arm_rfft_fast_f32调用。支持32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096点FFT。
, }7 {) [! y" k9 U7 z: p比如做1024点FFT，代码如下：

arm_rfft_fast_instance_f32 S;
3 y7 v" B# O) c% {. h. `
arm_rfft_fast_init_f32(&S, 1024);

! z% W) y% v6 P. Carm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);

  第2个参数是实数地址，比如我们要做1024点实数FFT，要保证有1024个缓冲。
! @- b8 p0 n. C/ ]6 b  第3个参数是FFT转换结果，转换结果不是实数了，而是复数，按照实部，虚拟，实部，虚部，依次排列。比如做1024点FFT，这里的输出也会有1024个数据，即512个复位。
" ~, Z9 w: }0 n0 Q% E  第4个参数用于设置正变换和逆变换，ifftFlag=0表示正变换，ifftFlag=1表示逆变换。
" D$ s( r5 b& t) o: K
31.3.2 使用举例并和Matlab比较
下面通过在开发板上运行这个函数并计算幅频相应，然后再与Matlab计算的结果做对比。

4 |5 l; i% e  d5 y: ?) m9 A4 Q

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   $ A! S% N" `. l4 c9 h% C8 b
3. *    函 数 名: arm_rfft_f32_app
   
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f32计算幅频和相频
   
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   4 h! e+ S1 o, c4 v. N) _3 f
7. *********************************************************************************************************
   ! G' X. \& Z- m5 D& Q( y
8. */
   
9. static void arm_rfft_f32_app(void)
   / V' w: ^, Q5 x7 J
10. {
    
11.     uint16_t i;
    ; M1 x- ]3 f- o1 [, E9 T5 J: Z
12.     arm_rfft_fast_instance_f32 S;
    
13. 
    ( G- k; P. ~9 u4 l# Y6 b- i+ i
14. 
    
15.     /* 正变换 */
    
16.     ifftFlag = 0;
    
17. 
      d3 E, V' Y2 ]5 @0 z
18.     /* 初始化结构体S中的参数 */
    1 c. s* m& ]2 a# \& K; q# D
19.      arm_rfft_fast_init_f32(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    0 e! z* q# R. ^  @4 T5 ^$ v) T6 p$ L
20. 
    
21.     for(i=0; i<1024; i++)
    % s& o& h. S" {" N/ P' m& W. A4 M
22.     {
    7 g3 q$ W. I$ e$ C+ z' L
23.         /* 波形是由直流分量，50Hz正弦波组成，波形采样率1024，初始相位60° */
    6 B" i& s7 H- W1 C1 Y
24.         testInput_f32<i> </i>= 1 + cos(2*3.1415926f*50*i/1024 + 3.1415926f/3);
    ( S, \) a5 c: k" A& ]
25.     }
    
26. 
    
27.     /* 1024点实序列快速FFT */
    , v7 t2 r6 T. ]  n7 e9 N
28.     arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);
    % v2 O% Y# a. q# [
29. 
    
30.     /* 为了方便跟函数arm_cfft_f32计算的结果做对比，这里求解了1024组模值，实际函数arm_rfft_fast_f32
    + T! a3 q) j" D6 v+ n- m4 C
31.        只求解出了512组  
    
32.     */
    + z* s2 a7 V5 V; ^' ^% r
33.      arm_cmplx_mag_f32(testOutput_f32, testOutputMag_f32, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    5 J. b+ g' ?* j# @, d0 w/ \+ ]
34. 
    
35. 
    ( p( R: |$ r0 O" ?% s
36.     printf("=========================================\r\n");   
    ' Y: K" n! c! `+ B
37. 
      U1 R5 f" P4 Z1 ?: Q! ^
38.     /* 求相频 */
    ' d# v0 X% z, Q( |' {, _) x" X, t6 K
39.     PowerPhaseRadians_f32(testOutput_f32, Phase_f32, TEST_LENGTH_SAMPLES, 0.5f);
    
40. 
    % Z+ Q, m- H5 m  S, F
41. 
    
42.     /* 串口打印求解的幅频和相频 */
    
43.     for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    
44.     {
    
45.         printf("%f, %f\r\n", testOutputMag_f32, Phase_f32);
    % z5 @  s9 C* A: \6 W- w
46.     }
    . r, s; P0 O. K7 a3 w! {
47. }

复制代码

4 A5 k" `' m6 K0 r0 a2 \9 u运行函数arm_rfft_f32_app可以通过串口打印出计算的模值和相角，下面我们就通过Matlab计算的模值和相角跟arm_rfft_fast_f32计算的做对比。

对比前需要先将串口打印出的数据加载到Matlab中，并给这个数组起名sampledata，加载方法在前面的教程的第13章13.6小结已经讲解，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：

1. Fs = 1024;               % 采样率
   " G3 g7 f/ W' w: h% ?
2. N  = 1024;               % 采样点数
   
3. n  = 0:N-1;              % 采样序列
   
4. t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;      % 时间序列
   / W4 g; M0 s3 g( C5 t4 `
5. f = n * Fs / N;          %真实的频率
   ) S. F1 a. k/ |) z, L) l# F
6. 
   - q& C& E- U6 {
7. %波形是由直流分量，50Hz正弦波正弦波组成
   
8. x = 1 + cos(2*pi*50*t + pi/3)   ;  
   & `  o+ f. O6 }: `& G, e% h3 \
9. y = fft(x, N);               %对原始信号做FFT变换
   & f5 q& b7 _1 \- F8 O: R
10. Mag = abs(y);
    ( ~8 p7 c* Q2 I* R2 C) x$ o; ]
11. 
    
12. subplot(2,2,1);
    
13. plot(f, Mag);
    
14. title('Matlab计算幅频响应');
    $ g# ~: p" r" S: E$ V) w
15. xlabel('频率');
    / b  k$ _( |; B
16. ylabel('赋值');
    
17. 
    
18. subplot(2,2,2);
    
19. realvalue = real(y);
    5 l. e0 G- B: ~: s7 `
20. imagvalue = imag(y);
    
21. plot(f, atan2(imagvalue, realvalue)*180/pi.*(Mag>=200));
    % }5 e4 s8 \5 j) @1 s! @
22. title('Matlab计算相频响应');
    
23. xlabel('频率');
    
24. ylabel('相角');
    
25. 
    
26. subplot(2,2,3);
    
27. plot(f, sampledata1);  %绘制STM32计算的幅频相应
    
28. title('STM32计算幅频响应');
    4 s/ d: q1 F+ ?- |0 `$ e! x0 G! x
29. xlabel('频率');
    
30. ylabel('赋值');
    8 ^# |4 }# C. a! I
31. 
    
32. subplot(2,2,4);
    
33. plot(f, sampledata2);   %绘制STM32计算的相频相应
      Y  q# h8 k8 N( v8 {2 T( d  _
34. title('STM32计算相频响应');
    
35. xlabel('频率');
    
36. ylabel('相角');

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运行Matlab后的输出结果如下：

从上面的对比结果中可以看出，从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的Matlab和函数arm_rfft_fast_f32计算的结果基本是一直的。幅频响应求出的幅值和相频响应中的求出的初始相角都是没问题的。

4 X( M" x- ?' W7 W$ V31.4 双精度函数arm_rfft_fast_f64的使用(含幅频和相频)
31.4.1 函数说明
+ o! a; }! o- D! Z4 ~" |函数原型：
- q% n3 N0 v3 |
! K2 T$ E  ?6 [6 @8 a

1. void arm_rfft_fast_f64(
   $ S; J9 K' \% c- [
2.   arm_rfft_fast_instance_f64 * S,
   
3.   float64_t * p,
   ) u* E3 {6 q2 s5 J& M
4.   float64_t * pOut,
   
5.   uint8_t ifftFlag)

复制代码

函数描述：

这个函数用于双精度浮点实数FFT。
& T! y* |+ ?* v+ Y" u0 B" B$ }$ }
% E$ \1 f8 i0 a+ K& H函数参数：
& Y) C+ I8 a8 h
  第1个参数是封装好的浮点FFT例化，需要用户先调用函数arm_rfft_fast_init_f64初始化，然后供此函数arm_rfft_fast_f64调用。支持32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096点FFT。
. Q- Y& k- M( q; O8 p( |0 M比如做1024点FFT，代码如下：
7 ~& }) m/ K( b
% a# t5 g8 U# a/ Y+ t1 v) harm_rfft_fast_instance_f64 S;
0 P: d5 U; e- t6 E5 Y+ q, }
arm_rfft_fast_init_f64(&S, 1024);

arm_rfft_fast_f64(&S, testInput_f64, testOutput_f64, ifftFlag);

" a, t& o  y/ n( r/ E7 C, v# \  第2个参数是实数地址，比如我们要做1024点实数FFT，要保证有1024个缓冲。
  第3个参数是FFT转换结果，转换结果不是实数了，而是复数，按照实部，虚拟，实部，虚部，依次排列。比如做1024点FFT，这里的输出也会有1024个数据，即512个复位。
8 c0 N1 r) r  l5 n: E  第4个参数用于设置正变换和逆变换，ifftFlag=0表示正变换，ifftFlag=1表示逆变换
6 H. x4 c5 _; o# F/ k4 c
. @; L6 ?1 l" `! Q* a* M, m31.4.2 使用举例并和Matlab比较
( _0 ?' |# K( g3 a$ H/ O下面通过在开发板上运行这个函数并计算幅频相应，然后再与Matlab计算的结果做对比。
% S' v/ M: ]* f) F* k7 G
: Y' K  x) h; f1 A$ J( s

1. /*
   - ]; g) p! G4 ~" ~) p
2. *********************************************************************************************************
   2 E# i( G4 S% Q* H) v% M1 t/ r' u
3. *    函 数 名: arm_rfft_f64_app
   
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f64计算幅频和相频
   ; P+ o% n/ q% G" U  Y$ U
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   ! f  ^4 `5 D: r& ?  O4 N$ p( f) g2 l
7. *********************************************************************************************************
     R! ?- S  F& a" }9 j3 @9 H
8. */
   " C$ l) E( w, P7 W/ U7 g
9. static void arm_rfft_f64_app(void)
   6 ~6 l9 e; T9 o8 E. K5 K' H
10. {
    / l% e* R1 T. @' i* k
11.     uint16_t i;
    
12.     float64_t lX,lY;
    9 @/ ^4 C1 ]! ?" S/ J$ E
13.     arm_rfft_fast_instance_f64 S;
    + j7 e; s/ b$ U+ e. |% q
14. 
    ; u. w$ j. {3 J* j
15. 
    5 t7 g* z% f9 j& e
16.     /* 正变换 */
    6 i) J8 J0 j# O& J. L- d  P; |
17.     ifftFlag = 0;
    1 Q8 K. f4 L0 D  X# q
18. 
    
19.     /* 初始化结构体S中的参数 */
    : f  K& x9 f& {1 z
20.      arm_rfft_fast_init_f64(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    
21. 
    ( N7 J5 B! m  R8 Z+ t
22.     for(i=0; i<1024; i++)
      A! @9 D% G( R. @( X+ y
23.     {
    
24.         /* 波形是由直流分量，50Hz正弦波组成，波形采样率1024，初始相位60° */
    , {% }2 j2 w7 h' ]2 L
25.         testInput_f64<span style="font-style: italic;"><span style="font-style: normal;"> = 1 + cos(2*3.1415926*50*i/1024 + 3.1415926/3);
    
26.     }
    $ [+ G( {) y6 ]$ x$ D( B
27. 
    
28.     /* 1024点实序列快速FFT */
    ! e+ f* \" `% s2 t4 B, R$ U8 T- q* {
29.     arm_rfft_fast_f64(&S, testInput_f64, testOutput_f64, ifftFlag);
    
30. 
    % k1 Y4 }6 ~: k1 Y1 J5 {
31.     /* 求解模值  */
    
32.     for (i =0; i < TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    
33.     {
    7 d$ s9 S! b/ N; v
34.          lX = testOutput_f64[2*i];                    /* 实部*/
    
35.         lY = testOutput_f64[2*i+1];                   /* 虚部 */  
    
36.         testOutputMag_f64</span><span style="font-style: normal;"> = sqrt(lX*lX+ lY*lY);   /* 求模 */
    
37.     }
    * F3 `, Z# b% U5 F8 L
38. 
    8 e. w2 b- e/ G( u! r: e; G) e
39. 
    + ?; P8 c7 T# S$ z* j, I8 I
40.     printf("=========================================\r\n");   
    
41. 
    
42.     /* 求相频 */
    3 h3 `& X. s( X9 g1 M: b
43.     PowerPhaseRadians_f64(testOutput_f64, Phase_f64, TEST_LENGTH_SAMPLES, 0.5);
    3 g- c; h3 c4 h4 c$ k; i
44. 
    
45. 
    / C; @1 [! P0 g4 {1 ?* `& M
46.     /* 串口打印幅值和相频 */
    * l0 q& }6 D2 w9 c, t( F
47.     for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    8 c& `' }# c  \' z9 L2 ?5 O
48.     {
    
49.         printf("%.11f, %.11f\r\n", testOutputMag_f64</span><span style="font-style: normal;">, Phase_f64</span><span style="font-style: normal;">);
    
50.     }   
    0 @5 _1 G. U7 l# ^* G' W
51. 
    ! t" Z8 d" y' e2 f8 s
52. }</span></span>

复制代码

运行函数arm_rfft_f64_app可以通过串口打印出计算的模值和相角，下面我们就通过Matlab计算的模值和相角跟arm_rfft_fast_f32计算的做对比。
& y- f# z. k# p
- r% _. V4 k; ^$ e对比前需要先将串口打印出的数据加载到Matlab中，并给这个数组起名sampledata，加载方法在前面的教程的第13章13.6小结已经讲解，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
( ^. k9 I- R8 k8 n5 N# L
2 Y; `( }4 h7 }, e9 y

1. Fs = 1024;               % 采样率
   
2. N  = 1024;               % 采样点数
   0 i- f5 n; P+ {
3. n  = 0:N-1;              % 采样序列
   7 J& V$ Q, V. B- R/ q& I  M
4. t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;      % 时间序列
   
5. f = n * Fs / N;          %真实的频率
   
6. 
   9 Y7 `( I; \9 z2 E
7. %波形是由直流分量，50Hz正弦波正弦波组成
   5 F6 ^* U, i0 o) g5 C  t" x& a
8. x = 1 + cos(2*pi*50*t + pi/3)   ;  
   4 e( J6 Y$ p9 ?) Z
9. y = fft(x, N);               %对原始信号做FFT变换
   
10. Mag = abs(y);
    
11. 
    
12. subplot(2,2,1);
    
13. plot(f, Mag);
    
14. title('Matlab计算幅频响应');
    
15. xlabel('频率');
    
16. ylabel('赋值');
    % t5 r: K% B5 j
17. 
    6 E& T, q! e) n+ ?4 x8 R  X- G
18. subplot(2,2,2);
    1 y& t5 E6 ]1 m* d8 T$ x6 v
19. realvalue = real(y);
    7 J8 f3 q6 ~7 |% u1 F- O+ G9 L
20. imagvalue = imag(y);
    8 O* L0 x' I7 ^# }7 K: s
21. plot(f, atan2(imagvalue, realvalue)*180/pi.*(Mag>=200));
    
22. title('Matlab计算相频响应');
    5 n0 y- }" Q3 w( s
23. xlabel('频率');
    7 @+ z5 c: w1 \; \4 C3 Z! M% h8 W
24. ylabel('相角');
    & r$ d  y3 b! p) J# ~: j
25. 
    7 D: n" X( y( Q/ k7 A: |
26. subplot(2,2,3);
    
27. plot(f, sampledata1);  %绘制STM32计算的幅频相应
    
28. title('STM32计算幅频响应');
    
29. xlabel('频率');
    
30. ylabel('赋值');
    5 M! f& R" J: c3 H. r. @$ F
31. 
      \8 {3 _: v! j
32. subplot(2,2,4);
    
33. plot(f, sampledata2);   %绘制STM32计算的相频相应
    6 j1 H0 w, x0 |- x) ^5 e" ^
34. title('STM32计算相频响应');
    
35. xlabel('频率');
    
36. ylabel('相角');

复制代码

: u! X# S, ]1 {) @运行Matlab后的输出结果如下：
7 a: F; U) M* [% _9 _- g* [; H

" H8 a& m' b' ], S6 h7 C从上面的对比结果中可以看出，从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的Matlab和函数arm_rfft_fast_f64计算的结果基本是一直的。幅频响应求出的幅值和相频响应中的求出的初始相角都是没问题的。

31.5 实验例程说明（MDK）
5 J) o% m$ Y/ H7 N9 [3 W. V* e配套例子：
V7-221_实数浮点FTT(支持单精度和双精度)
; e9 [) L; e- p" F1 N, G) }+ r
0 F& `9 @, O& U/ i( h2 o+ ?$ p实验目的：
学习实数浮点FFT，支持单精度浮点和双精度浮点
% U0 I* g7 H; A4 q( n5 g1 ?% @3 z5 q; n
实验内容：
5 A3 i1 w" C4 v! j5 F启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
: u2 B3 \' w& z7 e按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
6 U) A. @0 W6 |' C: r按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。

9 Z4 Y9 g' g/ N6 I, s4 E3 I2 U6 P使用AC6注意事项
特别注意附件章节C的问题
3 T+ i/ ]/ p' A. }- ]1 d
上电后串口打印的信息：
7 }5 m: e2 y" [5 |5 e( g
波特率 115200，数据位 8，奇偶校验位无，停止位 1。
% q9 Q7 z& O& |# ?9 H

5 p& ]- T/ A( i! L3 a2 mRTT方式打印信息：
/ K9 w, [  R& t$ H' m- F  Q

) S: d: L- ^6 C/ L) t: P
! W6 x. j5 I$ e& S; M$ t程序设计：
' \8 I# a5 d+ e% l
  系统栈大小分配：
- ~6 X" G' ?1 i/ _
: Z# |: ]" k/ g

3 D. X! D' |7 x  q* |3 M  RAM空间用的DTCM：

4 y' a) g% \, D7 i1 b) j, P

8 s- `( m: r* z1 |" P  n: J
. f2 c; E% P7 y0 W9 _) E  硬件外设初始化
# E" W# O; @7 ~8 `
/ \9 r! Z2 ?7 p$ G$ c4 w硬件外设的初始化是在 bsp.c 文件实现：
, K$ v9 l6 i/ `0 ]/ X1 D

1. /*
   7 p$ B, u! h  M7 B8 E6 ^
2. *********************************************************************************************************
   8 D  z7 e8 r0 _- B' T, t) B& ?+ b
3. *    函 数 名: bsp_Init
   % J0 s4 ?  ~$ K3 l, \& H: e& a
4. *    功能说明: 初始化所有的硬件设备。该函数配置CPU寄存器和外设的寄存器并初始化一些全局变量。只需要调用一次
   ) ]6 F, r2 m% H
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   8 I8 o# m' \0 C$ \1 D8 d4 `
8. */
   6 v4 U* o  q2 l; f, W8 c
9. void bsp_Init(void)
   " o$ e' T, x) E, ]& v
10. {
    
11.     /* 配置MPU */
    
12.     MPU_Config();
    
13. 
    & f7 {3 F" H  ?4 p* O4 Z* B
14.     /* 使能L1 Cache */
    # y- K) F2 S. C. L, ?7 I; f3 D
15.     CPU_CACHE_Enable();
    
16. 
    , b  f3 K+ O, {4 w6 `& P
17.     /*
    - u: w$ u+ N, x
18.        STM32H7xx HAL 库初始化，此时系统用的还是H7自带的64MHz，HSI时钟:
    , c2 U% h( d7 P% H
19.        - 调用函数HAL_InitTick，初始化滴答时钟中断1ms。
    
20.        - 设置NVIC优先级分组为4。
    
21.      */
    3 M. L& n/ ]1 u, m
22.     HAL_Init();
    
23. 
    
24.     /*
    
25.        配置系统时钟到400MHz
    + T* C3 m; K5 P& Z. C! |9 K
26.        - 切换使用HSE。
    , o/ R' ~" ]- `
27.        - 此函数会更新全局变量SystemCoreClock，并重新配置HAL_InitTick。
    : x% }/ u3 `6 U
28.     */
    
29.     SystemClock_Config();
    4 v( {( K6 B; B6 \; y9 M
30. 
    5 ?+ ^; k7 z  H- \' z/ c* p
31.     /*
    
32.        Event Recorder：
    
33.        - 可用于代码执行时间测量，MDK5.25及其以上版本才支持，IAR不支持。
    
34.        - 默认不开启，如果要使能此选项，务必看V7开发板用户手册第8章
    ' ]' a: p0 E6 ~4 b
35.     */   
    
36. #if Enable_EventRecorder == 1  
    / A9 H, n2 S# c5 X6 d! Y/ Y
37.     /* 初始化EventRecorder并开启 */
    " {0 n" R2 x% S% G1 ^, v
38.     EventRecorderInitialize(EventRecordAll, 1U);
    ! }8 B; ~, Y- d0 l$ ?: d4 ?
39.     EventRecorderStart();
    ' P4 f; d/ G6 c
40. #endif
    
41. 
    
42.     bsp_InitKey();        /* 按键初始化，要放在滴答定时器之前，因为按钮检测是通过滴答定时器扫描 */
    6 d% L) |0 M) W' W3 {. q
43.     bsp_InitTimer();      /* 初始化滴答定时器 */
    
44.     bsp_InitUart();    /* 初始化串口 */
    
45.     bsp_InitExtIO();    /* 初始化FMC总线74HC574扩展IO. 必须在 bsp_InitLed()前执行 */   
    
46.     bsp_InitLed();        /* 初始化LED */   
    ; t; N, y! i4 [2 N2 N, K0 S- c
47. }

复制代码

6 w" X* X* T5 d2 E- M& x  MPU配置和Cache配置：
  G$ ]9 p) v* X, E8 D0 {
- j9 c4 A& w' T0 G5 r数据Cache和指令Cache都开启。配置了AXI SRAM区（本例子未用到AXI SRAM），FMC的扩展IO区。
) \6 T! {+ {# I" Q5 w$ w
. g& Y3 \2 }0 \  B9 A3 s9 g

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: MPU_Config
   # {# U/ c" z8 ]
4. *    功能说明: 配置MPU
   
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   
9. static void MPU_Config( void )
   
10. {
    9 F- Y+ b. }$ z
11.     MPU_Region_InitTypeDef MPU_InitStruct;
    " U2 w1 j% A' C2 O0 \
12. 
    
13.     /* 禁止 MPU */
    $ ~4 y3 K% ]% x0 a
14.     HAL_MPU_Disable();
    8 \2 y) p) Y( X; M& J: |6 L
15. 
    
16.     /* 配置AXI SRAM的MPU属性为Write back, Read allocate，Write allocate */
    5 {1 g# _. H3 C9 ~& V3 d
17.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    2 ]9 A7 K7 i7 ~! H
18.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x24000000;
    & `: Z8 ^* y. e6 F3 Y
19.     MPU_InitStruct.Size             = MPU_REGION_SIZE_512KB;
    1 A9 \1 t. p6 `) s5 F& {
20.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
21.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    6 w( K; H( l# t. k2 L) f
22.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_CACHEABLE;
    9 d  j; Q& O8 M, p8 G: ^/ H" W
23.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    
24.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER0;
    . y, J; n! a1 H
25.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL1;
    
26.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    
27.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    1 E) d$ e' A3 J& Y
28. 
    
29.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
30. 
    
31. 
    ! z; ~, @7 N! S! ]
32.     /* 配置FMC扩展IO的MPU属性为Device或者Strongly Ordered */
    
33.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    
34.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x60000000;
    5 d" |8 @5 r, W/ `
35.     MPU_InitStruct.Size             = ARM_MPU_REGION_SIZE_64KB;   
    4 ?" B, d0 Z: S( t$ o* B3 X9 _/ q
36.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    . ^. N# R& ~  p: G! }. X% n' a" J
37.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    
38.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_NOT_CACHEABLE;   
    $ M, C/ s* y, _6 g0 h
39.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    * \7 N' U* ?2 F6 Q9 j. P
40.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER1;
    
41.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL0;
    8 Y! ?- K' k4 Z* P( J' T0 {9 P
42.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    ) i& N1 V$ Q# E3 q) J; Y$ F
43.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    , X% l* U& D  W0 k4 b
44. 
    . S+ M$ {  r: ^2 T0 q$ [
45.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
46. 
    
47.     /*使能 MPU */
    & f. }7 h. F/ V
48.     HAL_MPU_Enable(MPU_PRIVILEGED_DEFAULT);
    
49. }
    
50. 
    ; J; u4 U7 Y7 l. B+ G( u
51. /*
    ) d9 ~3 H. G" F5 ^6 m. X1 y
52. *********************************************************************************************************
    8 l5 e5 |3 f$ v4 l9 s2 O# E
53. *    函 数 名: CPU_CACHE_Enable
    
54. *    功能说明: 使能L1 Cache
    
55. *    形    参: 无
    
56. *    返 回 值: 无
    
57. *********************************************************************************************************
    6 L' V  n+ F7 Y8 {6 @+ v/ h
58. */
    ( y; C$ b" g1 l  _! `( b9 l6 x
59. static void CPU_CACHE_Enable(void)
    
60. {
    ( s! |8 M  C; e2 h- D, H5 _
61.     /* 使能 I-Cache */
    
62.     SCB_EnableICache();
    
63. 
    
64.     /* 使能 D-Cache */
    
65.     SCB_EnableDCache();
      Z& ~# p+ ]0 M1 j, H( O8 t
66. }

复制代码

) J8 Q( t  V3 w( t8 _+ Q) f  主功能：
, L3 W* ?2 s0 ]
主程序实现如下操作：

  启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
  按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
4 W4 C5 m% d7 l' K  D+ x7 I" ~  按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   4 Z# w5 {5 P  c
3. *    函 数 名: main
   0 k% q8 m7 A1 P/ u% \& M3 N
4. *    功能说明: c程序入口
   
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 错误代码(无需处理)
   9 @  y6 ^" }- ~7 s
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   
9. int main(void)
   % e, x4 P# L7 M7 d$ ~7 _
10. {
    ( P+ W% @1 w$ E( e0 ]
11.     uint8_t ucKeyCode;        /* 按键代码 */
    
12. 
    9 s" r- c4 ~) A: z
13. 
    
14.     bsp_Init();        /* 硬件初始化 */
    
15.     PrintfLogo();    /* 打印例程信息到串口1 */
    % M3 G6 h# ?9 q
16. 
    
17.     PrintfHelp();    /* 打印操作提示信息 */
    
18. 
    
19. 
    
20.     bsp_StartAutoTimer(0, 100);    /* 启动1个100ms的自动重装的定时器 */
    ' F. _- S4 N$ R- A; S1 v' A" b
21. 
    8 ]0 ~! q1 D  u  z. c
22.     /* 进入主程序循环体 */
    8 v! K5 O  r6 ^' |0 p- p6 M: w
23.     while (1)
    $ G& t8 B& h# P$ d/ \, r+ y3 t
24.     {
    
25.         bsp_Idle();        /* 这个函数在bsp.c文件。用户可以修改这个函数实现CPU休眠和喂狗 */
    
26. 
    0 {* |5 [8 V: l" b% j
27. 
    
28.         if (bsp_CheckTimer(0))    /* 判断定时器超时时间 */
    
29.         {
    " Y5 t9 N9 n2 `  T& G1 m1 R
30.             /* 每隔100ms 进来一次 */
    0 v+ N0 J' n% U( Q, Z
31.             bsp_LedToggle(4);    /* 翻转LED2的状态 */   
    7 {* L; R4 I; d$ W, ]3 v
32.         }
    - R3 c$ H% I/ Y0 D( D
33. 
    ) b3 T1 F# U) P  V" i  ^
34.         ucKeyCode = bsp_GetKey();    /* 读取键值, 无键按下时返回 KEY_NONE = 0 */
    ( U( m9 q4 r3 R  Y. Y  j" z/ E
35.         if (ucKeyCode != KEY_NONE)
    
36.         {
    
37.             switch (ucKeyCode)
    
38.             {
    
39.                 case KEY_DOWN_K1:            /* K1键按下 */
    - \9 `6 j/ |2 L3 b0 d6 L
40.                     arm_rfft_f32_app();
    
41.                     break;
    
42. 
    
43.                 case KEY_DOWN_K2:            /* K2键按下 */
    8 H0 }/ m% ]$ h! J
44.                     arm_rfft_f64_app();
    
45.                     break;
    
46. 
    ; p' ]: j, [( F# U6 u) U
47. 
    2 I2 ]) Z8 ~( @; p' e8 ]1 q$ Q
48.                 default:
    , P. a- V% p" m$ }, s' n8 p
49.                     /* 其它的键值不处理 */
    2 n! H) E. F2 a$ u" U/ Q& P
50.                     break;
    * m' V( n& n& @( q* F, j3 j) T
51.             }
    
52.         }
      l  v3 H7 C- A! v6 a" e
53. 
    
54.     }
    
55. }

复制代码

4 b. t  p7 E* E31.6 实验例程说明（IAR）
配套例子：
+ Q3 g- d/ f- \# I; B4 [7 nV7-221_实数浮点FTT(支持单精度和双精度)

% N+ }+ `1 l' m' v  s实验目的：
1 V* F5 M& d; R学习实数浮点FFT，支持单精度浮点和双精度浮点
% |- f# j8 l3 _
0 n" ?+ q( F6 O7 w% y" ?3 J实验内容：
6 Q) h7 d% q1 U; Y启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
0 s' E- h) n% N( t8 M: y3 A
; w: ?+ H; @# R: n  s: p- k上电后串口打印的信息：
7 @. D/ k' _! l$ P& C, c
' c2 B/ o. v  ~  |, u8 F波特率 115200，数据位 8，奇偶校验位无，停止位 1。
* z! ?" ]8 x# Y
/ v- e5 V$ X; A* T: x) ^4 F

4 x/ `0 C- t# u
RTT方式打印信息：

6 Z8 d" _* {( I$ R, B& X' {程序设计：
8 Y0 v1 w" I3 t& G, S
  系统栈大小分配：

0 Z* n+ w; V/ H# O9 t

: F5 F' O9 y* [) r6 c& s9 b
  k8 r) J- t! G  RAM空间用的DTCM：
# I$ w5 g, y4 v0 F6 p- F

$ ]" L/ o" ^% B- T
  硬件外设初始化
# s7 k6 _& ]8 c. Y% @
硬件外设的初始化是在 bsp.c 文件实现：
2 ^! D' m; W  K- L

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   8 K* L9 T2 t$ _
3. *    函 数 名: bsp_Init
   : t9 x7 `! ?9 t9 _$ f
4. *    功能说明: 初始化所有的硬件设备。该函数配置CPU寄存器和外设的寄存器并初始化一些全局变量。只需要调用一次
   
5. *    形    参：无
   3 @! s$ ]8 M* R
6. *    返 回 值: 无
   ( I" `) m( v$ E* E/ k
7. *********************************************************************************************************
   7 W( q4 ]: t5 e, y- V
8. */
   
9. void bsp_Init(void)
   ) \+ B, P) Z3 g$ N2 x/ ]$ X+ Y  h* U
10. {
    0 v5 x- a9 l0 R# V; E( K
11.     /* 配置MPU */
    
12.     MPU_Config();
    
13. 
    3 r; X! f4 a+ y. e. a8 ]
14.     /* 使能L1 Cache */
    ( F$ ~" o8 R# L, |$ G# d
15.     CPU_CACHE_Enable();
    
16. 
    7 ^( z# a: Q2 e2 {
17.     /*
    
18.        STM32H7xx HAL 库初始化，此时系统用的还是H7自带的64MHz，HSI时钟:
    
19.        - 调用函数HAL_InitTick，初始化滴答时钟中断1ms。
    # q4 S5 ^& W! M
20.        - 设置NVIC优先级分组为4。
    - V8 g: ^3 K5 A& M4 w) ^6 ^
21.      */
    + |  |) y) x+ d  S1 [' o% w
22.     HAL_Init();
    1 e6 g' T! P/ q7 G- ]1 q# p, L
23. 
    
24.     /*
    : d! h& r! _9 d( w: r" [
25.        配置系统时钟到400MHz
    2 c1 U, Z7 w8 u0 e  @. _3 U" r
26.        - 切换使用HSE。
    + D; d+ {& o5 A; j3 e0 [, |  V+ v$ d
27.        - 此函数会更新全局变量SystemCoreClock，并重新配置HAL_InitTick。
    
28.     */
    4 ?4 {. C+ h# {* x
29.     SystemClock_Config();
    . t8 c/ u0 F/ ]7 ?
30. 
    
31.     /*
    6 F) G4 {3 v& p  T
32.        Event Recorder：
    
33.        - 可用于代码执行时间测量，MDK5.25及其以上版本才支持，IAR不支持。
    3 e) B( x0 [, H$ _
34.        - 默认不开启，如果要使能此选项，务必看V7开发板用户手册第8章
    
35.     */   
    , }: b# F7 w! M) ]- A8 B
36. #if Enable_EventRecorder == 1  
    
37.     /* 初始化EventRecorder并开启 */
    ) ]+ K* V" ^# D; h# W
38.     EventRecorderInitialize(EventRecordAll, 1U);
    
39.     EventRecorderStart();
    ! P$ R2 G+ G6 k) f  ~6 |
40. #endif
    
41. 
    0 S+ D; X0 u4 Y4 `1 i
42.     bsp_InitKey();        /* 按键初始化，要放在滴答定时器之前，因为按钮检测是通过滴答定时器扫描 */
    
43.     bsp_InitTimer();      /* 初始化滴答定时器 */
    
44.     bsp_InitUart();    /* 初始化串口 */
    
45.     bsp_InitExtIO();    /* 初始化FMC总线74HC574扩展IO. 必须在 bsp_InitLed()前执行 */   
    
46.     bsp_InitLed();        /* 初始化LED */   
    
47. }

复制代码

MPU配置和Cache配置：
9 X8 T2 l+ n6 J" s, Q9 Q/ o
数据Cache和指令Cache都开启。配置了AXI SRAM区（本例子未用到AXI SRAM），FMC的扩展IO区。

! H5 o9 E  p* o/ ?$ C8 \. F" d

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: MPU_Config
   
4. *    功能说明: 配置MPU
   * P$ Z' b4 p8 z4 X; F
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   # ?( z5 h+ Y! M
8. */
   
9. static void MPU_Config( void )
   ) ?6 m( N, U" K; o" F: v
10. {
    
11.     MPU_Region_InitTypeDef MPU_InitStruct;
      \- r# l# b* @6 d3 E7 E. U# T
12. 
    : k" g8 K0 p! d& s
13.     /* 禁止 MPU */
    
14.     HAL_MPU_Disable();
    
15. 
    
16.     /* 配置AXI SRAM的MPU属性为Write back, Read allocate，Write allocate */
    # `8 S1 X- h, r: f$ d, `
17.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    % C6 Z7 `' v" f
18.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x24000000;
    
19.     MPU_InitStruct.Size             = MPU_REGION_SIZE_512KB;
    . P! I- r3 {; _6 d, q7 S
20.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
      h6 m2 c9 u  `) n- K$ Z
21.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    
22.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_CACHEABLE;
    
23.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    + n6 t$ J0 L& ?2 {( w% B
24.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER0;
    5 V+ J+ c! o% C- v7 f* {7 ]
25.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL1;
    
26.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    
27.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    2 w  S/ E0 D4 Q& f7 x
28. 
    ' e$ y8 u8 {) L+ b) y
29.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    ) H: u! n* y$ R$ q" ?, i
30. 
    
31. 
    5 F1 A% D  M0 s7 k3 ?
32.     /* 配置FMC扩展IO的MPU属性为Device或者Strongly Ordered */
    
33.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    4 _- ~% @  b* `8 b+ T* L
34.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x60000000;
    
35.     MPU_InitStruct.Size             = ARM_MPU_REGION_SIZE_64KB;   
    
36.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    8 ]" O7 g9 c! O, M9 M( K
37.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    
38.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_NOT_CACHEABLE;   
    , s, U: u, e$ f$ Q5 Y5 i; h
39.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    ( _0 F9 O# u8 _
40.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER1;
    ( B, K) y; h7 A# W, e2 X' j! w! e$ p
41.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL0;
    
42.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    * d% }# k- ~  h2 o) w
43.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    
44. 
    
45.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
46. 
    # Q" h: W1 w/ l- O+ a. r1 W! h0 F
47.     /*使能 MPU */
      J6 `6 F# t, p- o* ?" v+ K
48.     HAL_MPU_Enable(MPU_PRIVILEGED_DEFAULT);
    
49. }
    ! r+ x) l9 C/ Q0 A
50. 
    
51. /*
    
52. *********************************************************************************************************
    
53. *    函 数 名: CPU_CACHE_Enable
    & r/ l) l/ k" k5 Y
54. *    功能说明: 使能L1 Cache
    - A4 P! E4 K1 G) r/ |
55. *    形    参: 无
    , \% {5 r, o4 r+ P! M# S
56. *    返 回 值: 无
    
57. *********************************************************************************************************
    
58. */
    
59. static void CPU_CACHE_Enable(void)
    # I& v! n0 |4 _# M3 n7 |2 b! C  v
60. {
    
61.     /* 使能 I-Cache */
    
62.     SCB_EnableICache();
    ! ?4 g; b6 }1 ^- m
63. 
    
64.     /* 使能 D-Cache */
    & s" C# ]- F; X
65.     SCB_EnableDCache();
    
66. }

复制代码

& I' M" U* B4 A# N  主功能：

' @7 k' E0 v' ~  K: c主程序实现如下操作：

( _$ u7 {! |" D9 ~2 F, d! a  启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
4 `. C- ?, f0 E# K8 H  按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
3 V% W7 o0 V" j/ \, n( ^$ v/ N& J/ H  按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   ! ?, G( E  D& p: K2 b
3. *    函 数 名: main
   1 x3 I: O2 U' [" O9 h
4. *    功能说明: c程序入口
     E; v- a- A3 K- _6 p# K
5. *    形    参: 无
   3 G+ I$ \" Q5 x5 w. B; W
6. *    返 回 值: 错误代码(无需处理)
   5 k) m- F( K1 Q# Q; q, V9 M
7. *********************************************************************************************************
   1 z% B# Y" z. K$ E
8. */
   
9. int main(void)
   + G( R4 F6 n. ?3 B
10. {
    0 u- F( g: f' n# p: P3 G# \7 l! R
11.     uint8_t ucKeyCode;        /* 按键代码 */
    
12. 
    
13. 
      Z6 D9 E$ N- l# R
14.     bsp_Init();        /* 硬件初始化 */
    
15.     PrintfLogo();    /* 打印例程信息到串口1 */
    2 V3 V# C& ]. E/ s) l
16. 
    
17.     PrintfHelp();    /* 打印操作提示信息 */
    
18. 
    
19. 
    7 `- ?2 ^# J$ j: c" q: R5 h& C) W% @5 ]
20.     bsp_StartAutoTimer(0, 100);    /* 启动1个100ms的自动重装的定时器 */
    
21. 
    8 A# C/ U8 k9 c& {8 m
22.     /* 进入主程序循环体 */
    ) j6 V6 f2 X+ T; ]% \2 a
23.     while (1)
    
24.     {
    
25.         bsp_Idle();        /* 这个函数在bsp.c文件。用户可以修改这个函数实现CPU休眠和喂狗 */
    
26. 
    4 K1 Z' q& K, {
27. 
    
28.         if (bsp_CheckTimer(0))    /* 判断定时器超时时间 */
    " }' N7 ~6 Z3 {2 q7 \/ t
29.         {
    7 ]' _7 E' Z  [9 E
30.             /* 每隔100ms 进来一次 */
      ]( u- I5 t6 y2 R
31.             bsp_LedToggle(4);    /* 翻转LED2的状态 */   
    
32.         }
    
33. 
    # g" {& w6 N# J$ E/ N3 a) E$ s
34.         ucKeyCode = bsp_GetKey();    /* 读取键值, 无键按下时返回 KEY_NONE = 0 */
    
35.         if (ucKeyCode != KEY_NONE)
    ( X" O, |) D0 N! k- m# R
36.         {
    
37.             switch (ucKeyCode)
    9 Y, s6 W" L4 x/ U0 i0 e4 i
38.             {
      A' {6 |8 ?( [7 a1 P3 a7 O: y
39.                 case KEY_DOWN_K1:            /* K1键按下 */
    , x8 Z2 K% |& O
40.                     arm_rfft_f32_app();
    
41.                     break;
    # G5 W0 T7 W- S" }  f* T
42. 
    
43.                 case KEY_DOWN_K2:            /* K2键按下 */
    
44.                     arm_rfft_f64_app();
    
45.                     break;
    . n9 a8 d5 Q$ t; O% M3 _+ D6 F
46. 
    . h+ m7 }" m& N7 p  Q
47. 
    + b4 s! I' c3 T
48.                 default:
    2 B! \$ M, I' |) A" p+ x2 V0 q( e
49.                     /* 其它的键值不处理 */
    
50.                     break;
    
51.             }
    ! A- C" \! `6 g1 y- ?
52.         }
    
53. 
    
54.     }
    ; [: ~" j$ H( L0 Z
55. }

复制代码

; R+ Z; g- |+ m* U31.7 总结
本章节设计到实数FFT实现，有兴趣的可以深入了解源码的实现。

& c% ?2 b% }0 L, v

; Y# [  |  d- O