31.1 初学者重要提示
实数FFT仅需用户输入实部即可。输出结果根据FFT的对称性，也仅输出一半的频谱。
6 I( P( J7 z2 O. @+ c31.2 实数浮点FFT说明
" I5 k& G7 P3 L% h! P& XCMSIS DSP库里面包含一个专门用于计算实数序列的FFT库，很多情况下，用户只需要计算实数序列即可。计算同样点数FFT的实数序列要比计算同样点数的虚数序列有速度上的优势。

( `/ }; R) I7 J9 X" O" J& a  X快速的rfft算法是基于混合基cfft算法实现的。

一个N点的实数序列FFT正变换采用下面的步骤实现：

) |: Y8 E1 w, T+ B4 W* n3 U

由上面的框图可以看出，实数序列的FFT是先计算N/2个实数的CFFT，然后再重塑数据进行处理从而获得半个FFT频谱即可（利用了FFT变换后频谱的对称性）。

7 U6 m+ Y$ z% R7 Q一个N点的实数序列FFT逆变换采用下面的步骤实现：
( D+ j  v. U; C  U, c, p0 u/ f' x

1 p( o# `  h! M$ t0 U
( v+ ~1 O8 m6 d实数FFT支持浮点，Q31和Q15三种数据类型。

31.3 单精度函数arm_rfft_fast_f32的使用(含幅频和相频)
31.3.1 函数说明
3 q, O( Y; q! Q9 E, Q- E函数原型：

1. void arm_rfft_fast_f32(
   
2.   const arm_rfft_fast_instance_f32 * S,
   ) U6 ?1 L& C5 k( C$ K! X
3.   float32_t * p,
   
4.   float32_t * pOut,
   
5.   uint8_t ifftFlag)

复制代码

函数描述：

这个函数用于单精度浮点实数FFT。
4 f5 ^. u* o. Y/ s
1 N& `& |1 f) r4 N8 D函数参数：

$ _! j8 ?& d9 T' i) }  第1个参数是封装好的浮点FFT例化，需要用户先调用函数arm_rfft_fast_init_f32初始化，然后供此函数arm_rfft_fast_f32调用。支持32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096点FFT。
; Q% }. s: R% y比如做1024点FFT，代码如下：

4 L- ?* |/ g1 T  }( xarm_rfft_fast_instance_f32 S;
! O/ }* H" `: l
arm_rfft_fast_init_f32(&S, 1024);

+ H9 G5 @% j* ^4 N* aarm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);

( f1 [/ p, A( j6 o- w2 r5 e  U. n  第2个参数是实数地址，比如我们要做1024点实数FFT，要保证有1024个缓冲。
  第3个参数是FFT转换结果，转换结果不是实数了，而是复数，按照实部，虚拟，实部，虚部，依次排列。比如做1024点FFT，这里的输出也会有1024个数据，即512个复位。
  K' E9 ], T. C0 B7 n! t+ n  第4个参数用于设置正变换和逆变换，ifftFlag=0表示正变换，ifftFlag=1表示逆变换。
  x$ k+ n) U2 ~8 p
31.3.2 使用举例并和Matlab比较
8 j5 a: q/ x, S9 v$ a- F下面通过在开发板上运行这个函数并计算幅频相应，然后再与Matlab计算的结果做对比。

1. /*
   ' z, [& Q. I  {: ?" m8 _1 l/ [: M
2. *********************************************************************************************************
   2 ]- y2 W: k/ q2 l7 P( X8 R
3. *    函 数 名: arm_rfft_f32_app
   
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f32计算幅频和相频
   2 v& S7 v/ U9 t# u+ j( D
5. *    形    参：无
   ! p  d! G6 C) V( A1 a. e
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   ! y; e) H. j% ^; u3 r
8. */
   
9. static void arm_rfft_f32_app(void)
   
10. {
    ( I4 {/ _1 |, B4 C- O5 R
11.     uint16_t i;
    ; V9 U" T1 Z2 g0 W6 V: U8 P# ]& q
12.     arm_rfft_fast_instance_f32 S;
    7 B3 T9 A" y  {
13. 
    6 Q+ Q5 t" Y: R1 e8 G7 ?' `2 R
14. 
    
15.     /* 正变换 */
    5 z  ~+ x# s/ k) H' _3 n, K
16.     ifftFlag = 0;
    * g; e+ D* M8 L1 ~: F
17. 
    + x3 O5 S  k5 [* g, O
18.     /* 初始化结构体S中的参数 */
    
19.      arm_rfft_fast_init_f32(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    
20. 
    
21.     for(i=0; i<1024; i++)
    
22.     {
    & j2 ]; V8 V. {/ R5 l; C% x8 B/ t
23.         /* 波形是由直流分量，50Hz正弦波组成，波形采样率1024，初始相位60° */
    . R& w1 @& U8 u  z/ y0 F/ G
24.         testInput_f32<i> </i>= 1 + cos(2*3.1415926f*50*i/1024 + 3.1415926f/3);
    3 u+ |( }2 Q6 \, Q
25.     }
    
26. 
    & M' T" X& N/ _
27.     /* 1024点实序列快速FFT */
    0 ^7 }9 y( k/ @& A' |: e3 U
28.     arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);
    
29. 
    / c( d6 g( L- W+ Z( L
30.     /* 为了方便跟函数arm_cfft_f32计算的结果做对比，这里求解了1024组模值，实际函数arm_rfft_fast_f32
    % R9 y5 I) L5 _& A" [/ n2 `
31.        只求解出了512组  
    
32.     */
    
33.      arm_cmplx_mag_f32(testOutput_f32, testOutputMag_f32, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    
34. 
    
35. 
    0 ?  |$ w3 G- c" v- y' Y
36.     printf("=========================================\r\n");   
    9 ~2 @* Z$ V6 ]6 j% [* ^
37. 
    $ G2 M4 l6 c! H* N5 {9 Y& _( B
38.     /* 求相频 */
    6 p$ A7 P2 P3 T6 p; m
39.     PowerPhaseRadians_f32(testOutput_f32, Phase_f32, TEST_LENGTH_SAMPLES, 0.5f);
    & }0 A# m. w9 Z" a
40. 
    1 K% e; z3 ?5 f' V
41. 
    
42.     /* 串口打印求解的幅频和相频 */
    
43.     for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    
44.     {
    
45.         printf("%f, %f\r\n", testOutputMag_f32, Phase_f32);
    
46.     }
    
47. }

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* {$ E* A. `& X* S, G运行函数arm_rfft_f32_app可以通过串口打印出计算的模值和相角，下面我们就通过Matlab计算的模值和相角跟arm_rfft_fast_f32计算的做对比。

) m+ l. j9 O' L: ^4 S# N% b. z对比前需要先将串口打印出的数据加载到Matlab中，并给这个数组起名sampledata，加载方法在前面的教程的第13章13.6小结已经讲解，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
* D3 c# d+ u1 F+ y1 L1 c5 W
4 M. o- I0 r' K6 X

1. Fs = 1024;               % 采样率
   
2. N  = 1024;               % 采样点数
   0 L/ i0 u; [' R
3. n  = 0:N-1;              % 采样序列
   
4. t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;      % 时间序列
   
5. f = n * Fs / N;          %真实的频率
   8 m2 {. \3 x! F8 J# D- W
6. 
   
7. %波形是由直流分量，50Hz正弦波正弦波组成
   ) @& L6 e* s: w; o- y
8. x = 1 + cos(2*pi*50*t + pi/3)   ;  
   
9. y = fft(x, N);               %对原始信号做FFT变换
   ; ?" o9 b5 ~; C  n$ ~' @; s! h
10. Mag = abs(y);
      l- A# i6 C9 D8 T! S( @2 O
11. 
    ' G+ \; n* J0 ^
12. subplot(2,2,1);
    
13. plot(f, Mag);
    ; }' P- G2 O" P7 p$ v3 Y
14. title('Matlab计算幅频响应');
    . h! P1 M/ ~6 ?, m4 C
15. xlabel('频率');
    8 x& J5 N9 {0 g% \
16. ylabel('赋值');
    6 C5 w, B- j- b5 w* I1 `4 u
17. 
    
18. subplot(2,2,2);
    0 v4 I( j/ o# @: b9 R- J
19. realvalue = real(y);
    % Z3 B( ~. U+ O$ c3 K9 S. [
20. imagvalue = imag(y);
    ( D- a8 t7 _, X9 H3 [$ a2 F8 V
21. plot(f, atan2(imagvalue, realvalue)*180/pi.*(Mag>=200));
    
22. title('Matlab计算相频响应');
    8 j5 j7 d. |. h
23. xlabel('频率');
    
24. ylabel('相角');
    7 o- [+ j' f  P: O# i
25. 
    
26. subplot(2,2,3);
    ( @5 E5 r, I) a1 @- U* X. U$ w
27. plot(f, sampledata1);  %绘制STM32计算的幅频相应
    . M7 ]) K4 ]8 y- c+ _
28. title('STM32计算幅频响应');
    
29. xlabel('频率');
    
30. ylabel('赋值');
    3 [0 e4 \( A! Z) ]/ y
31. 
    
32. subplot(2,2,4);
    
33. plot(f, sampledata2);   %绘制STM32计算的相频相应
    
34. title('STM32计算相频响应');
    2 Z8 k8 Q) l7 K: F; R- ?2 ^
35. xlabel('频率');
    
36. ylabel('相角');

复制代码

运行Matlab后的输出结果如下：
, ~5 g6 ~3 H7 C* N- ?& O( t% c

- B3 H; }! _7 w2 Y' @从上面的对比结果中可以看出，从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的Matlab和函数arm_rfft_fast_f32计算的结果基本是一直的。幅频响应求出的幅值和相频响应中的求出的初始相角都是没问题的。

9 p+ A4 h; i6 ?! W( ]# \31.4 双精度函数arm_rfft_fast_f64的使用(含幅频和相频)
& ^' k2 o$ _% `31.4.1 函数说明
3 P# z; d1 |9 w. a. O7 U7 Q函数原型：
, Z/ {3 ~) T' N1 g+ \
; b; E$ B( E$ I6 n( R  r3 C

1. void arm_rfft_fast_f64(
   + d) S6 k' P) ~  _
2.   arm_rfft_fast_instance_f64 * S,
   
3.   float64_t * p,
   
4.   float64_t * pOut,
   
5.   uint8_t ifftFlag)

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/ W) G+ b  P, q& N' e: ^函数描述：

这个函数用于双精度浮点实数FFT。
- d8 a+ ?( x0 U0 S
函数参数：

5 s, B  q/ I! \2 j2 m! \7 z  第1个参数是封装好的浮点FFT例化，需要用户先调用函数arm_rfft_fast_init_f64初始化，然后供此函数arm_rfft_fast_f64调用。支持32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096点FFT。
比如做1024点FFT，代码如下：
8 p3 |3 h. G. }( v8 I
arm_rfft_fast_instance_f64 S;
. `* n# w4 Y2 K3 M2 f( S& z6 J
arm_rfft_fast_init_f64(&S, 1024);

0 l. p/ b  {" h- F% d# T8 X' jarm_rfft_fast_f64(&S, testInput_f64, testOutput_f64, ifftFlag);

9 |5 v( g. H2 ^6 {  第2个参数是实数地址，比如我们要做1024点实数FFT，要保证有1024个缓冲。
  第3个参数是FFT转换结果，转换结果不是实数了，而是复数，按照实部，虚拟，实部，虚部，依次排列。比如做1024点FFT，这里的输出也会有1024个数据，即512个复位。
  第4个参数用于设置正变换和逆变换，ifftFlag=0表示正变换，ifftFlag=1表示逆变换
- I. ~: j: g" s
31.4.2 使用举例并和Matlab比较
& C8 i+ v; M4 K4 b; L+ s4 K3 F下面通过在开发板上运行这个函数并计算幅频相应，然后再与Matlab计算的结果做对比。

( J2 j& R- g; x

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: arm_rfft_f64_app
   
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f64计算幅频和相频
   8 s' c, |0 ~+ w  }1 a! g
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   6 [: e! B( p5 Y3 |" I8 M  |
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   
9. static void arm_rfft_f64_app(void)
   
10. {
    
11.     uint16_t i;
    4 E1 q4 k/ J4 n
12.     float64_t lX,lY;
    
13.     arm_rfft_fast_instance_f64 S;
    ! Y* f' K1 s) w/ b9 V& Z; Q& s
14. 
    2 i( ~3 {, H6 |3 f' ^2 H
15. 
    
16.     /* 正变换 */
    
17.     ifftFlag = 0;
    9 e5 q/ ]8 r3 \5 g( I
18. 
    
19.     /* 初始化结构体S中的参数 */
    
20.      arm_rfft_fast_init_f64(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
    
21. 
    & L- M$ v7 m9 K: y
22.     for(i=0; i<1024; i++)
    0 p8 E  D; U" G6 A4 g5 i  d) n- t
23.     {
    * y5 D8 q9 B1 v3 L
24.         /* 波形是由直流分量，50Hz正弦波组成，波形采样率1024，初始相位60° */
    
25.         testInput_f64<span style="font-style: italic;"><span style="font-style: normal;"> = 1 + cos(2*3.1415926*50*i/1024 + 3.1415926/3);
    + f" D& ]! V8 Y% D8 i  \9 K
26.     }
    / S5 F9 a  R- r
27. 
    ( [3 W# U- @; J* A8 U" z2 H
28.     /* 1024点实序列快速FFT */
    % K) f/ {' {3 B2 K, M0 P3 w) j4 B* g% d
29.     arm_rfft_fast_f64(&S, testInput_f64, testOutput_f64, ifftFlag);
    ' T( N" `8 [& g- {( ^" k  j5 M
30. 
    
31.     /* 求解模值  */
    
32.     for (i =0; i < TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    - ]+ L( ], U! b/ d( I  i
33.     {
    . w- ^' [5 A1 a5 v4 L: o% b' e
34.          lX = testOutput_f64[2*i];                    /* 实部*/
    : T3 o' y0 |+ {  d
35.         lY = testOutput_f64[2*i+1];                   /* 虚部 */  
    ( V0 |  B! w, T: H- ^
36.         testOutputMag_f64</span><span style="font-style: normal;"> = sqrt(lX*lX+ lY*lY);   /* 求模 */
    
37.     }
    4 _2 e' ]4 J3 p! Q* S$ |; T* A" o
38. 
    
39. 
    
40.     printf("=========================================\r\n");   
    * W, D/ L1 {; d8 j+ ~2 b
41. 
    1 M- F9 G9 Q3 H% Y5 y. B
42.     /* 求相频 */
    ' \! x3 i. c$ \% b1 [0 W5 i
43.     PowerPhaseRadians_f64(testOutput_f64, Phase_f64, TEST_LENGTH_SAMPLES, 0.5);
    & a; T9 V. y0 t
44. 
    
45. 
    % g7 T, ]9 O+ b$ \+ m
46.     /* 串口打印幅值和相频 */
    2 h/ ^# [$ e) }
47.     for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
    - S! S* [8 @2 w) q# [. ^7 |# E
48.     {
    1 I0 n6 O( g4 |: o0 R. u/ _) X* B
49.         printf("%.11f, %.11f\r\n", testOutputMag_f64</span><span style="font-style: normal;">, Phase_f64</span><span style="font-style: normal;">);
    
50.     }   
    ( F$ h, f0 N/ L! j+ \
51. 
    % F/ n0 r( y1 T* o
52. }</span></span>

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运行函数arm_rfft_f64_app可以通过串口打印出计算的模值和相角，下面我们就通过Matlab计算的模值和相角跟arm_rfft_fast_f32计算的做对比。
, R: V( L# W- u& ]( A
对比前需要先将串口打印出的数据加载到Matlab中，并给这个数组起名sampledata，加载方法在前面的教程的第13章13.6小结已经讲解，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：

( A* t1 ~* t- T$ w, U& v: O$ D0 T

1. Fs = 1024;               % 采样率
   ! `: ~0 G' f4 _4 J# ^2 \& |5 K
2. N  = 1024;               % 采样点数
   2 O4 ~- D3 _% c% \# q% i
3. n  = 0:N-1;              % 采样序列
   
4. t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;      % 时间序列
   / K* [; K. l, m  n* Z, g4 J
5. f = n * Fs / N;          %真实的频率
   
6. 
   
7. %波形是由直流分量，50Hz正弦波正弦波组成
   0 S& u9 ~0 `9 k) o2 M
8. x = 1 + cos(2*pi*50*t + pi/3)   ;  
   
9. y = fft(x, N);               %对原始信号做FFT变换
   $ i6 |, p; \$ m
10. Mag = abs(y);
    
11. 
    
12. subplot(2,2,1);
    $ |) ^4 V4 R7 w* v+ T) M/ d
13. plot(f, Mag);
    
14. title('Matlab计算幅频响应');
    
15. xlabel('频率');
    ! B- Y7 D' u1 `
16. ylabel('赋值');
    
17. 
    
18. subplot(2,2,2);
    
19. realvalue = real(y);
    
20. imagvalue = imag(y);
    
21. plot(f, atan2(imagvalue, realvalue)*180/pi.*(Mag>=200));
    5 `3 x# ?& @' Q+ X; i/ T3 Z
22. title('Matlab计算相频响应');
    
23. xlabel('频率');
    5 F8 t  `( b* S9 C
24. ylabel('相角');
    2 S" G) n& b/ s/ r7 o+ m
25. 
    
26. subplot(2,2,3);
    8 o# Y: k" {0 ^% b- f
27. plot(f, sampledata1);  %绘制STM32计算的幅频相应
    
28. title('STM32计算幅频响应');
    
29. xlabel('频率');
    $ \4 Y0 u8 Z7 r; Y
30. ylabel('赋值');
    ' K/ |+ C1 ?* L7 F/ Y
31. 
    8 h0 p& A( f. t8 a$ M: c. J
32. subplot(2,2,4);
    
33. plot(f, sampledata2);   %绘制STM32计算的相频相应
    
34. title('STM32计算相频响应');
    
35. xlabel('频率');
    * W, |' a0 X( w- L" J( a
36. ylabel('相角');

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' n5 ~  M# W* N8 S: V运行Matlab后的输出结果如下：

7 g& s" \) u# ]& }) ^. K1 Z

6 Z# x+ ]/ e- ?2 ~
) n; _: u1 J* k$ S9 [! s从上面的对比结果中可以看出，从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的Matlab和函数arm_rfft_fast_f64计算的结果基本是一直的。幅频响应求出的幅值和相频响应中的求出的初始相角都是没问题的。

31.5 实验例程说明（MDK）
3 U& z1 n+ B- P* q6 s6 O# I2 a! h: M4 Y配套例子：
3 s3 {4 N$ Z3 M3 d7 VV7-221_实数浮点FTT(支持单精度和双精度)

4 J( [& ^. |2 R实验目的：
学习实数浮点FFT，支持单精度浮点和双精度浮点
' e# {5 Q. u+ I0 {! x: W
9 @3 `6 @. Q. q( H/ @2 p/ ^实验内容：
启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
6 e  ~* h5 N' h4 U2 y$ F0 z( n0 G/ H按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
2 i8 `) w( Z- g4 x' }# d按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
- ]5 z: n+ e6 M
使用AC6注意事项
* M& ^1 q/ V9 C# }) l& m特别注意附件章节C的问题
6 b; r" N% H2 P/ Z  K
" V' O, e" h0 N3 s3 j; H4 R# @9 F上电后串口打印的信息：

+ v9 _: N, u8 `1 U4 i* n: B波特率 115200，数据位 8，奇偶校验位无，停止位 1。
+ F  C2 u8 x% A
# o3 ]$ z: T2 C! D, |) s2 [

RTT方式打印信息：
% d: D+ G+ U% ^

1 I0 E9 w& s2 Q$ A程序设计：

  系统栈大小分配：
( ]5 v8 _) T$ D

3 P! @* V, C  z/ s4 |$ c  RAM空间用的DTCM：
2 r! l7 s, d, Q2 J2 ]" K( L/ ]
+ M  J8 S) j+ h/ z  {! n. K% f

/ x  W- o" x# L7 p
6 {8 B* k! W" f( ~7 V- w, g; _  硬件外设初始化
+ h+ I% x8 o1 K) _' Q( s& w
硬件外设的初始化是在 bsp.c 文件实现：

" x6 ^! Q9 M, }* }5 K5 v0 P

1. /*
   . f' Q# M3 j( m; q
2. *********************************************************************************************************
   ( e/ u7 t( M+ f% ^+ `. g
3. *    函 数 名: bsp_Init
   
4. *    功能说明: 初始化所有的硬件设备。该函数配置CPU寄存器和外设的寄存器并初始化一些全局变量。只需要调用一次
   3 ]% B8 e+ o& r+ E0 }4 e
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   - c7 C% X8 _5 i/ N
8. */
   
9. void bsp_Init(void)
   . h3 f. k/ {% z
10. {
    
11.     /* 配置MPU */
    
12.     MPU_Config();
    
13. 
    0 X' |: T: W* V; |; ~4 j) r
14.     /* 使能L1 Cache */
    % E+ [/ l. ~5 v& Q& P7 n) N* b
15.     CPU_CACHE_Enable();
    
16. 
    - I6 j9 Q1 D+ Q  P
17.     /*
    
18.        STM32H7xx HAL 库初始化，此时系统用的还是H7自带的64MHz，HSI时钟:
    / V6 x1 p4 }  h+ n- @; L6 n
19.        - 调用函数HAL_InitTick，初始化滴答时钟中断1ms。
    
20.        - 设置NVIC优先级分组为4。
    5 s/ d( l. [6 t# {: D
21.      */
    
22.     HAL_Init();
    
23. 
    
24.     /*
    
25.        配置系统时钟到400MHz
    0 C$ z0 _  ?: ]5 r: g" b
26.        - 切换使用HSE。
    ) w* d% L+ v( {5 ~
27.        - 此函数会更新全局变量SystemCoreClock，并重新配置HAL_InitTick。
    - K9 @7 s! C) ^
28.     */
      ^5 G1 u- o3 b+ j" u
29.     SystemClock_Config();
    5 _. m0 X: E- y5 Z7 {$ q
30. 
    , g! N, N' Z, ^4 c! m
31.     /*
    
32.        Event Recorder：
    3 l& o' o3 e: p# W) [& I
33.        - 可用于代码执行时间测量，MDK5.25及其以上版本才支持，IAR不支持。
    
34.        - 默认不开启，如果要使能此选项，务必看V7开发板用户手册第8章
    
35.     */   
    ; o" J, g7 L8 L2 m
36. #if Enable_EventRecorder == 1  
    7 O1 ~  o3 h$ T6 P0 b2 ^" @$ i" Z/ e
37.     /* 初始化EventRecorder并开启 */
      @" V  Z1 d7 S/ W7 g, w
38.     EventRecorderInitialize(EventRecordAll, 1U);
    
39.     EventRecorderStart();
    & y. h+ a+ H% D5 O, \
40. #endif
    
41. 
    + U" y! l: Y4 ^1 ~2 T- S5 G! h
42.     bsp_InitKey();        /* 按键初始化，要放在滴答定时器之前，因为按钮检测是通过滴答定时器扫描 */
    , S  q$ ^) d& `- K# H+ i
43.     bsp_InitTimer();      /* 初始化滴答定时器 */
    
44.     bsp_InitUart();    /* 初始化串口 */
    
45.     bsp_InitExtIO();    /* 初始化FMC总线74HC574扩展IO. 必须在 bsp_InitLed()前执行 */   
    : F8 M3 A. [3 p* q" @2 q4 W
46.     bsp_InitLed();        /* 初始化LED */   
    
47. }

复制代码

+ B( w" m5 s) n  MPU配置和Cache配置：

# T" z# B  x, K3 b数据Cache和指令Cache都开启。配置了AXI SRAM区（本例子未用到AXI SRAM），FMC的扩展IO区。
  H* @" o: _5 v2 Z2 p0 I& r

1. /*
   + q" ^% m6 O- O% B  z# N
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: MPU_Config
   
4. *    功能说明: 配置MPU
   ! Q! _; R8 B+ g2 P4 `2 V3 U' W
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 无
   : L' V4 o! w+ U% q
7. *********************************************************************************************************
   3 L) E) h) q! J) \& F9 K1 ?
8. */
   
9. static void MPU_Config( void )
   
10. {
    
11.     MPU_Region_InitTypeDef MPU_InitStruct;
    / s0 P4 W( j/ n  V2 s$ W
12. 
    
13.     /* 禁止 MPU */
    2 n, ^# [0 _. ^
14.     HAL_MPU_Disable();
    $ S" Z- l/ X* e: E$ U4 J
15. 
    
16.     /* 配置AXI SRAM的MPU属性为Write back, Read allocate，Write allocate */
    
17.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    $ X. p5 G5 {1 {5 c6 e. {/ I
18.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x24000000;
    
19.     MPU_InitStruct.Size             = MPU_REGION_SIZE_512KB;
    
20.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
21.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    
22.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_CACHEABLE;
    ; F( }) [- q8 ^+ I
23.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    
24.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER0;
    
25.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL1;
    
26.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    ! a2 l: C' w( s2 W( Q) [* p
27.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    9 Q1 r% W5 N6 R# D& M; G  h% k8 ]5 k
28. 
    & H; S' C0 F4 [+ }' {
29.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
30. 
    
31. 
    
32.     /* 配置FMC扩展IO的MPU属性为Device或者Strongly Ordered */
    
33.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    5 l4 \6 t2 k, v( F# z/ O* d8 F
34.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x60000000;
    " N+ P5 x( O4 G/ {
35.     MPU_InitStruct.Size             = ARM_MPU_REGION_SIZE_64KB;   
    & Z+ `3 f8 ]; _5 A3 v7 B1 X' P
36.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
37.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    
38.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_NOT_CACHEABLE;   
    
39.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    ! N( j6 K; J1 ~1 W
40.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER1;
    
41.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL0;
    9 j0 _) m. J/ y! ]
42.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    
43.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    0 M9 q* G7 ]# K+ S) C
44. 
    
45.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    
46. 
    ! w; u6 Z, r! q. v
47.     /*使能 MPU */
    ( ?8 G6 b7 q8 F9 x
48.     HAL_MPU_Enable(MPU_PRIVILEGED_DEFAULT);
    1 ^8 _5 B+ ?, |6 ]9 c
49. }
    2 v5 c8 J( o9 S; y- x
50. 
    
51. /*
    $ r8 q5 [# D1 @7 T8 N) U
52. *********************************************************************************************************
    
53. *    函 数 名: CPU_CACHE_Enable
    
54. *    功能说明: 使能L1 Cache
    
55. *    形    参: 无
    + T5 s5 ^; @1 E3 I) |& v
56. *    返 回 值: 无
    
57. *********************************************************************************************************
    3 h& [/ a- |1 o/ H2 l5 m4 n$ n/ I5 S
58. */
    
59. static void CPU_CACHE_Enable(void)
    
60. {
      ?+ p: b, ^% C" h4 _" W
61.     /* 使能 I-Cache */
    
62.     SCB_EnableICache();
    7 K! W+ g9 `/ q0 b* z
63. 
    
64.     /* 使能 D-Cache */
    
65.     SCB_EnableDCache();
    4 ?3 p7 F* P& ^+ R  w9 j" N2 |
66. }

复制代码

  主功能：
% |/ j- o8 W9 w9 q' t" m2 f9 Y
" Z& Z' v; F. }# l+ c5 b主程序实现如下操作：
$ j/ h* k* I; ?# Q* w
  f. _5 [4 K0 y1 c  E! s3 e7 v' g  启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
+ F" [& v! @6 Y( v* z) t* c  按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
$ l8 h& H( B7 _; W' U9 c  按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
! G  r' k1 H# R4 X' i, S8 N) j

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: main
   * D' D$ r3 Q: j4 @/ Z5 m" j
4. *    功能说明: c程序入口
   " b7 _( K* X. d: I
5. *    形    参: 无
   % z' l" j- C. [2 F
6. *    返 回 值: 错误代码(无需处理)
   
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   9 Z% g! p$ M6 y# A' }
9. int main(void)
   ( @* K- a% D* L: [
10. {
    
11.     uint8_t ucKeyCode;        /* 按键代码 */
    
12. 
    8 W, {4 l2 T6 q! S
13. 
    % @$ o6 H, t1 ]! T: u3 M3 P& E
14.     bsp_Init();        /* 硬件初始化 */
    
15.     PrintfLogo();    /* 打印例程信息到串口1 */
    
16. 
    8 u4 y( u; B- [2 W+ U. r$ r8 u
17.     PrintfHelp();    /* 打印操作提示信息 */
    
18. 
    * x3 o( t7 C; |, E4 d! C
19. 
    . ]& U* h! N) M9 B8 T
20.     bsp_StartAutoTimer(0, 100);    /* 启动1个100ms的自动重装的定时器 */
    1 B! i5 T1 j2 S" {+ [$ W
21. 
    ; [7 e2 p# e: v/ h! V
22.     /* 进入主程序循环体 */
    
23.     while (1)
    
24.     {
    
25.         bsp_Idle();        /* 这个函数在bsp.c文件。用户可以修改这个函数实现CPU休眠和喂狗 */
    5 I1 n  ^( S" d
26. 
    # `5 ^% J0 }; U& _4 g
27. 
    
28.         if (bsp_CheckTimer(0))    /* 判断定时器超时时间 */
    
29.         {
    * @5 A1 }) O3 s& G/ P
30.             /* 每隔100ms 进来一次 */
    
31.             bsp_LedToggle(4);    /* 翻转LED2的状态 */   
    : `& Q/ R  X8 e1 F; |1 E& l4 v
32.         }
    - u7 Q+ \9 @0 \# y; S
33. 
    
34.         ucKeyCode = bsp_GetKey();    /* 读取键值, 无键按下时返回 KEY_NONE = 0 */
    * @7 @' v9 \6 d" \+ w$ @$ d
35.         if (ucKeyCode != KEY_NONE)
    ' d+ ?5 L6 l* k8 T4 |
36.         {
    
37.             switch (ucKeyCode)
    
38.             {
    $ S0 C/ P9 J  n+ f
39.                 case KEY_DOWN_K1:            /* K1键按下 */
    - p- F& |; \; y; F0 g6 `' H+ m
40.                     arm_rfft_f32_app();
    
41.                     break;
    
42. 
    # V/ C* p; ~; ]) S5 j
43.                 case KEY_DOWN_K2:            /* K2键按下 */
    
44.                     arm_rfft_f64_app();
    
45.                     break;
    7 A' g3 w) D& c! b: h; P* Q, ]/ x
46. 
    
47. 
    3 a# ?+ A# s7 s2 j
48.                 default:
    ' |* L# j7 N; j7 H3 W3 Y8 ^$ J
49.                     /* 其它的键值不处理 */
    
50.                     break;
      r1 d* p! \3 A% w5 ?' o( b5 m
51.             }
    
52.         }
    1 s4 c+ n& M  H9 L
53. 
    ; _3 m" q/ l/ n
54.     }
    ( X' H4 [: g: x$ h# [
55. }

复制代码

31.6 实验例程说明（IAR）
9 s% _% H. d; d' W5 Z) r配套例子：
2 q9 R/ @+ e. S: h0 m1 BV7-221_实数浮点FTT(支持单精度和双精度)
6 j+ K1 n' n, R! r
$ a7 [/ U* _7 i, O% B. I实验目的：
学习实数浮点FFT，支持单精度浮点和双精度浮点

实验内容：
启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。
0 V* X3 {% H+ y
上电后串口打印的信息：
3 \& Y' @$ p  C" k8 k1 k
0 l; Y/ `$ \& z& |) d  ?( V- J波特率 115200，数据位 8，奇偶校验位无，停止位 1。
7 U) f9 k2 G+ U5 X
# k/ Y. R2 H0 C. \" }9 K: F

- {% w  A( g7 h. L8 L9 f
% n  a# g' C( H1 Y) i, nRTT方式打印信息：
- A2 n9 a' E) k9 E
* N& m( h+ B1 q) p' M

$ K' N& z# y1 @! w% I9 f: e
. t( [4 i+ K7 g% p$ j0 C$ |程序设计：
( r) M* [0 u$ [& ^1 R. {  o
/ G: L+ w; C3 C- s7 z( k# T  系统栈大小分配：
+ M- {" e5 C8 [& \! ]+ E2 R

( L" ^/ ^$ i& Z- \8 K* z
  RAM空间用的DTCM：
6 E, c% S3 M) ]# o  i& \8 D) C; v) T

' m0 j7 r9 `, ]
4 m6 [9 w; w! R6 d9 M& ^7 b  硬件外设初始化
6 z6 A% ^6 v7 z/ l- B  j" t
硬件外设的初始化是在 bsp.c 文件实现：
6 q% V! b1 O! [4 n; H
+ \7 ]9 k5 N  L( J! n

1. /*
   ' r/ s: Z  S9 p, x6 s
2. *********************************************************************************************************
   : F/ c# [2 Z/ H2 J
3. *    函 数 名: bsp_Init
   0 m# i( P3 `" {1 d: i5 `. u8 R
4. *    功能说明: 初始化所有的硬件设备。该函数配置CPU寄存器和外设的寄存器并初始化一些全局变量。只需要调用一次
   : @- W  D+ q, M
5. *    形    参：无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   
8. */
   , t, t$ h! o: f4 {; ]2 ~8 ]
9. void bsp_Init(void)
   * k9 w1 k8 W9 w+ c
10. {
    , r, p& M, g3 O
11.     /* 配置MPU */
    
12.     MPU_Config();
    . j/ {6 I+ c! D/ b
13. 
    7 y4 @& Z4 Y1 K. \' R2 Y
14.     /* 使能L1 Cache */
    
15.     CPU_CACHE_Enable();
    
16. 
    
17.     /*
    4 [' E3 c: H# I
18.        STM32H7xx HAL 库初始化，此时系统用的还是H7自带的64MHz，HSI时钟:
    2 g, _, Z, `6 u0 o
19.        - 调用函数HAL_InitTick，初始化滴答时钟中断1ms。
    
20.        - 设置NVIC优先级分组为4。
    , i7 C2 ?+ v6 O3 I
21.      */
    $ {7 `$ a$ Y; z
22.     HAL_Init();
    3 L" z9 V2 B* W8 F6 G2 u, ~
23. 
    : f/ u/ |3 t- }3 L$ X
24.     /*
    / U4 i3 b" q6 ?* S
25.        配置系统时钟到400MHz
    
26.        - 切换使用HSE。
    
27.        - 此函数会更新全局变量SystemCoreClock，并重新配置HAL_InitTick。
    
28.     */
    
29.     SystemClock_Config();
    ! c) C( c) N5 M4 U- a. i% y& A$ ~3 t
30. 
    2 _* L$ [  v+ q. t3 ]- m. }5 K
31.     /*
    , [7 m+ t" {  V, A# v6 s+ }$ u% m
32.        Event Recorder：
    
33.        - 可用于代码执行时间测量，MDK5.25及其以上版本才支持，IAR不支持。
    ( l2 T2 ~8 u7 T
34.        - 默认不开启，如果要使能此选项，务必看V7开发板用户手册第8章
    . \; H9 p% D$ Y) J* \
35.     */   
    3 t! g$ Q; A- }0 |
36. #if Enable_EventRecorder == 1  
    
37.     /* 初始化EventRecorder并开启 */
    
38.     EventRecorderInitialize(EventRecordAll, 1U);
    
39.     EventRecorderStart();
    1 X( g& t1 T: ]3 X5 e
40. #endif
    
41. 
    
42.     bsp_InitKey();        /* 按键初始化，要放在滴答定时器之前，因为按钮检测是通过滴答定时器扫描 */
    
43.     bsp_InitTimer();      /* 初始化滴答定时器 */
    ' R# ?/ V/ U* I, d: u
44.     bsp_InitUart();    /* 初始化串口 */
    
45.     bsp_InitExtIO();    /* 初始化FMC总线74HC574扩展IO. 必须在 bsp_InitLed()前执行 */   
    
46.     bsp_InitLed();        /* 初始化LED */   
    * S" N, o4 t8 @" u
47. }

复制代码

MPU配置和Cache配置：

  w2 c3 B: D, Y7 ?. J! w数据Cache和指令Cache都开启。配置了AXI SRAM区（本例子未用到AXI SRAM），FMC的扩展IO区。

1. /*
   
2. *********************************************************************************************************
   + @" g9 @* U( G# |; [4 e0 ]' n) C* o- A
3. *    函 数 名: MPU_Config
   
4. *    功能说明: 配置MPU
   5 J. Z2 s6 i! X% ], J
5. *    形    参: 无
   
6. *    返 回 值: 无
   
7. *********************************************************************************************************
   2 [: B) f0 c' B* o
8. */
   
9. static void MPU_Config( void )
   
10. {
    
11.     MPU_Region_InitTypeDef MPU_InitStruct;
    
12. 
    
13.     /* 禁止 MPU */
    
14.     HAL_MPU_Disable();
    . O1 ?0 k5 ]( o9 v' n# Y
15. 
    % t- S; C9 I. v1 i  p' l
16.     /* 配置AXI SRAM的MPU属性为Write back, Read allocate，Write allocate */
    
17.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    . Q- e' I! v  R+ Z1 l# J. i- \
18.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x24000000;
    
19.     MPU_InitStruct.Size             = MPU_REGION_SIZE_512KB;
    
20.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    , _; {& t& m* r# q* E! d
21.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    0 i2 o' o" q" G" u1 Q1 [
22.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_CACHEABLE;
    9 s  h) ~* p' }" K8 ]+ f: |# S5 R
23.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    
24.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER0;
    
25.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL1;
    * c2 n; M6 ^' E, K
26.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    9 v$ C! L/ [: v
27.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    
28. 
    % X* E9 F  d/ }. W1 ~3 n1 V4 }+ B
29.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    $ K' L3 O  K4 A
30. 
    3 _3 X9 Z; d; t; q% p8 ?& ]
31. 
    
32.     /* 配置FMC扩展IO的MPU属性为Device或者Strongly Ordered */
    3 p( G/ @6 x) `  r1 z& e, Y& [% g% A
33.     MPU_InitStruct.Enable           = MPU_REGION_ENABLE;
    - R* k7 k* ]3 V/ M0 }4 _* |  C. J
34.     MPU_InitStruct.BaseAddress      = 0x60000000;
    
35.     MPU_InitStruct.Size             = ARM_MPU_REGION_SIZE_64KB;   
    3 Z$ s: K, r7 I7 K
36.     MPU_InitStruct.AccessPermission = MPU_REGION_FULL_ACCESS;
    
37.     MPU_InitStruct.IsBufferable     = MPU_ACCESS_BUFFERABLE;
    4 a( t! e% E% s! q- V
38.     MPU_InitStruct.IsCacheable      = MPU_ACCESS_NOT_CACHEABLE;   
    7 P' q: H1 N% b3 Y( U
39.     MPU_InitStruct.IsShareable      = MPU_ACCESS_NOT_SHAREABLE;
    
40.     MPU_InitStruct.Number           = MPU_REGION_NUMBER1;
    
41.     MPU_InitStruct.TypeExtField     = MPU_TEX_LEVEL0;
    ( j  E2 x- i. F! Y( {& ?
42.     MPU_InitStruct.SubRegionDisable = 0x00;
    
43.     MPU_InitStruct.DisableExec      = MPU_INSTRUCTION_ACCESS_ENABLE;
    # N4 }, z( R0 q
44. 
    
45.     HAL_MPU_ConfigRegion(&MPU_InitStruct);
    $ |; T4 |1 q" w- a
46. 
    ; p( k3 @: U$ \4 B4 B1 f
47.     /*使能 MPU */
    5 M, j& M: E6 `* s* e! N- z0 Y
48.     HAL_MPU_Enable(MPU_PRIVILEGED_DEFAULT);
      {4 ~4 }: e' q! K; v
49. }
    
50. 
    
51. /*
    
52. *********************************************************************************************************
    
53. *    函 数 名: CPU_CACHE_Enable
    
54. *    功能说明: 使能L1 Cache
    
55. *    形    参: 无
    ! L# s8 K' i" U
56. *    返 回 值: 无
    ! X- i6 ]9 `5 n; t) r4 x
57. *********************************************************************************************************
      e( [9 A  L. n4 r  P
58. */
    
59. static void CPU_CACHE_Enable(void)
    : \, w2 G* L% B3 v. `6 K
60. {
    
61.     /* 使能 I-Cache */
    
62.     SCB_EnableICache();
    8 n! k" Q* k" O- N" V! Z" Z
63. 
    
64.     /* 使能 D-Cache */
    . U8 C: p% s) p9 a/ K/ F' x" h8 _
65.     SCB_EnableDCache();
    ( b6 ^9 ~9 y6 h( K$ o$ y' V
66. }

复制代码

7 f6 u3 N7 A; S& Q& P+ a  主功能：
, ^. @$ V( A4 Z$ d/ p) h
6 I5 E$ z+ q6 q+ C* c# d主程序实现如下操作：
$ L& |4 X7 I; {& y  W! m
  启动一个自动重装软件定时器，每100ms翻转一次LED2。
  按下按键K1，串口打印1024点实数单精度FFT的幅频响应和相频响应。
0 g/ n5 z+ e& i. e4 F% [3 Y  按下按键K2，串口打印1024点实数双精度FFT的幅频响应和相频响应。

1. /*
   & N" W' L- R5 X- E8 P- F
2. *********************************************************************************************************
   
3. *    函 数 名: main
   : f6 N- c4 w  D/ A; K
4. *    功能说明: c程序入口
   
5. *    形    参: 无
   - a6 B+ l% z4 C" U! n/ Y' Q& O
6. *    返 回 值: 错误代码(无需处理)
   . @& T! V9 \+ @" ?' D+ w" G
7. *********************************************************************************************************
   4 v  A: s. j- |( p
8. */
   
9. int main(void)
   , i' T& o8 U% o7 @  _- R  g( s: \
10. {
    9 H8 e( F( q* Q$ N  X
11.     uint8_t ucKeyCode;        /* 按键代码 */
    2 l9 @$ H) l) @8 f! |2 S' V
12. 
    
13. 
    
14.     bsp_Init();        /* 硬件初始化 */
      e/ F6 T4 a7 M/ @4 A9 ?
15.     PrintfLogo();    /* 打印例程信息到串口1 */
    
16. 
    
17.     PrintfHelp();    /* 打印操作提示信息 */
    
18. 
    
19. 
    $ B; t: V8 }; _$ r$ s: Q
20.     bsp_StartAutoTimer(0, 100);    /* 启动1个100ms的自动重装的定时器 */
    ( h! }/ J4 ]4 b" G+ c! f6 k
21. 
    ) N6 c( x9 ]" ~; J- i7 [  S
22.     /* 进入主程序循环体 */
    $ O0 k# U7 @" e; K7 i
23.     while (1)
    " o& R4 s# Q& [5 b- D' N
24.     {
    
25.         bsp_Idle();        /* 这个函数在bsp.c文件。用户可以修改这个函数实现CPU休眠和喂狗 */
    - ]$ A" Z6 I1 h
26. 
    ! a6 A( o: K: W! A
27. 
    
28.         if (bsp_CheckTimer(0))    /* 判断定时器超时时间 */
    
29.         {
    - I' }5 b6 v- M' Z+ X5 N
30.             /* 每隔100ms 进来一次 */
    5 C/ }9 Q" t2 {1 _  b9 n% }
31.             bsp_LedToggle(4);    /* 翻转LED2的状态 */   
    
32.         }
    
33. 
    
34.         ucKeyCode = bsp_GetKey();    /* 读取键值, 无键按下时返回 KEY_NONE = 0 */
    8 N. K! w1 c- W+ v* k
35.         if (ucKeyCode != KEY_NONE)
    * ^9 D+ H3 U$ P8 L% V. M7 e
36.         {
    
37.             switch (ucKeyCode)
    
38.             {
    
39.                 case KEY_DOWN_K1:            /* K1键按下 */
    * W0 W( l; |) q6 s! ^, t
40.                     arm_rfft_f32_app();
    
41.                     break;
    
42. 
    3 X$ x% \( e4 i' b8 T& z
43.                 case KEY_DOWN_K2:            /* K2键按下 */
    8 Z5 Z! W3 ?5 h+ H; Y
44.                     arm_rfft_f64_app();
    
45.                     break;
    
46. 
    9 F( s0 [: ^9 W" f$ f+ ?
47. 
    
48.                 default:
    
49.                     /* 其它的键值不处理 */
    
50.                     break;
    
51.             }
    # m& B, ?9 V# b/ d" U3 ^
52.         }
    
53. 
    
54.     }
    7 h/ ]& s5 P- R' e5 g7 H& q
55. }

复制代码

- t8 R( \- x7 o% ^: B; g* `9 E) o31.7 总结
. m: E2 e, f7 H本章节设计到实数FFT实现，有兴趣的可以深入了解源码的实现。
/ v/ Z; p6 w6 p, O& L
& c9 y- H( g' E; n; g2 ]$ |/ P
8 w; e4 J7 i3 K3 i! a, d9 U+ ?