家介绍经典C语言平方根倒数速算法（或称Fast Inverse Square Root）。详细推导魔法数字0x5f3759df究竟从何而来，并最终在MCU上对比该算法和<math.h>中double sqrt(double)方法的性能表现并给出使用建议。本文不涉及高深的数学变换或复杂的计算机原理，但希望读者具备一些C语言基础；此外任何相关领域的积累都可能有助于内容理解。
7 }  X( E# n+ _  }% u
2 J. H" S) r5 K( M希望本文能帮助到有需要的朋友。
0 m( }, A" j& B
7 j% _) D1 h$ Z  m( S9 P* V平方根倒数简介
求平方根倒数在向量单位化操作中很常见，先举个例子，假设在二维平面内有一向量：
/ i- r' ?2 O6 Z/ X4 @

5 x7 ~: t( G- |# L' W, W1 [将该向量单位化，即将向量模长缩放为1，用向量除以它的模，可以表达成下式：
. h3 l+ K. Z. W  I

) y+ }% Q: s7 t此处，单位向量的坐标，即是原向量坐标和模长倒数的乘积。
8 _* L! H" E# I7 ]: [' q9 m一般而言，对任一数x，

即被称作平方根倒数。

C语言内求平方根倒数

C语言内求平方根属于常规操作，因为<math.h>中已经提供了double sqrt(double)函数给大家调用，该函数接收一个double型变量，并返回其平方根。部分场合使用float类型，如果是我，我会这么写：

1. #include <math.h>
   % y, G4 G1 I" A8 X8 W# y8 M$ S! E
2. 
     D. x6 D$ Q+ i& V
3. float x =0;
   4 r; s6 v% Z& ~7 L% X
4. 
   9 a: `  a3 r* _7 g- Q2 Z1 [
5. float inverse_square_root =0;
   
6. 
   2 l% _; e, G9 {/ w; h) T" [( j: t
7. inverse_square_root =1/sqrt(x);

复制代码

) c( a1 B! l1 H; d

事实上，大多数计算机处理加法和乘法时更快，对于除法和开方运算，速度相对较慢。定义在<math.h>中的sqrt()方法其系统开销是比较大的，尤其在部分MCU上，有时不能很好地满足系统实时性要求。

6 n* k6 B, j" D7 A0 U! w3 ^: y

速算法介绍
该情景与上世纪末PC算力较低的情况颇有几分相似，而在那段PC内存按MB计算的岁月里，优秀的C语言程序员们找到了该问题的解决方法：平方根倒数速算法（Fast Inverse Square Root），据说该算法最早由GaryTarolli在SGI Indigo开发中使用，对起源感兴趣的朋友可自行探究。
+ }( d  L9 ^- N/ \( N3 i平方根倒数速算法是一个单独的函数实现，代码如下：

1. float FInvSqrtRoot(float x)
   
2. 
   ! K1 u. C/ K7 s% \$ @
3. {
   4 H8 [2 r6 Y" U- E; b0 a. G
4. 
   , s( [  ^3 N- ?2 l1 P
5.     long i = 0;
   
6. 
     ~# {# O, g+ v
7.     float y, halfx;
   
8. 
   8 m8 k- T& _. D; P/ R5 }
9.     halfx = 0.5 * x;
   
10. 
    ) m+ E2 p, H$ V0 ~. S( v
11.     i = *(long*) &x;                 // 按照整型方法操作浮点数
    
12. 
    
13.     i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 魔法？
    
14. 
    - ?! t+ G3 i# o+ a6 [* j' N# d
15.     y = *(float*) &i;                // 获得平方根倒数近似值
    
16. 
    
17.     y = y * (1.5 - halfx * y * y);   // 一次牛顿迭代
    
18. 
    
19.     return y;
    
20. 
    
21. }

复制代码

& i0 r6 }' i3 S# v9 J

8 V% R( f. h! h# o

该函数接收一个float型变量，并返回其平方根倒数。

Step1.奇怪的地址类型转换

1. i = *(long *) &x;                // 按照整型方法操作浮点数

复制代码

代码第四行将浮点数x按照整型数据操作，这里的操作方法与类型转换有很大不同；类型转换将内存中按照浮点数标准表示的值近似为最接近的整数，并按照整数标准储存在内存中，像这样：i=(long)x;要理解*(long *) &x与(long)x的不同，需要了解浮点数在计算机中的表示方法。
浮点数在计算机中使用类似科学计数法的形式储存，float类型的浮点数使用32bit表示，结构如下：

3 Z8 r. m1 G5 V. Z: L

2 T1 z( y  c; `+ ]+ y

最高位，第31位，为符号位，若S=0，该浮点数为正数；若S=1，该浮点数为负数。
1 C* h: y+ g8 g, [0 ?4 K接下来的8位数字，为指数部分，指数E范围为[0，255]，为可以表示负指数，规定在E的范围基础上-127，即[-127，128]；例如E=3表示2^(3-127)=2^(-124)。
接下来的23位数字，为尾数部分，即有效数字部分。由于二进制下有效数字必为1.xxx的形式，整数部分必为1，因此无需使用第22位表示整数1，而是直接表示小数点后一位，整数部分不在尾数M中体现，只在计算时加上；即M=0101…表示二进制的1.0101。以上，float型浮点数在内存中的存放形式已经明确。
现假设有一float型浮点正数x，其在内存中按照上述方式存放，即：

则x表示的浮点数值为：

注意平方根倒数速算法只接收正数，所以全文只讨论x为正浮点数的情况。

此时再回来看i=*(long *) &x这行代码；

第一步；取x的地址，注意此时x的地址指向一个浮点数，内存中对应的数据为：E*2^23+M

第二步；将该地址转换为指向long整型的地址，注意转换的是地址类型而不是数据，现在内存中的数据仍然是：E*2^23+M

第三步，取该地址指向的数据，赋给i；此时程序将按照整型标准去读取这个数据。因此，可以将i理解为x对应内存数据的整型解释。现在可以对i进行整型支持的操作，比如接下来要用到的位移操作。

准备工作已经完成，现在进入算法的核心，即施放魔法：

1. i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 魔法？

复制代码

要理解这行代码，需要一点点数学铺垫；我们先给x表示的浮点数取个对数：

其中，M表示尾数，M/2^23范围在[0,1)之间；在极限理论中，若x属于[0,1]，有以下关系：

即在x接近0或1的条件下，log2(1+x)接近x；很明显当x不靠近0或1时，误差会变大，如下图左侧所示：

如果在等式右侧加入一个微小量u，可以使得x+u在[0,1]范围内近似log2(1+x)，如上图右侧所示：

所以有：

因此，

/ }8 ?+ S/ m* z' ?9 _) n

此时再倒回去看浮点数x在内存中的存放形式，即：E*2^23+M；

因此可以认为浮点数的对数形式与其内存存放形式相似，只是添加了缩放和平移。我们知道：

令：

所以有：

将上式展开：

稍作整理：

这太棒了，因为浮点数在内存中的存放形式，即：E*2^23+M

而上式中

则相当于对其内存形式右移1位，即

由此可知，魔法数字0x5f3759df就是包含u在内的修正项：

至此我们已经完成了魔法代码的解析：

这太棒了，因为浮点数在内存中的存放形式，即：E*2^23+M

而上式中

则相当于对其内存形式右移1位，即

由此可知，魔法数字0x5f3759df就是包含u在内的修正项：

至此我们已经完成了魔法代码的解析：

1. i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 魔法

复制代码

i就是x对应内存数据的整型解释，将i右移1位相当于乘以二分之一，也就是1/2*(Ex*2^23+Mx);

等式右侧的运算结果，就是

，也就是

即

注意此时程序认为i是整型变量，所以需要下一行代码再将其转换为浮点型；

y = *(float *) &i;              // 获得平方根倒数估计值

此时y即是x的平方根倒数。

Step3.优化结果
* p+ M+ o9 H% x% q由于上述推导中，引入了修正系数u，所以y只是近似解。
  @/ B+ L1 X  w* d# E2 G
. |% N' M/ V9 H9 d* I# A: x- o& Q接下来使用牛顿法（Newton Method）进行一次迭代，使y更接近准确值。简单来说，使用牛顿法，可以从一个近似解获得一个更接近准确答案的解；牛顿法的核心思想是迭代，对于我们正在讨论的问题，属于已知x求y的类型，即
% q  B/ i, A5 o" j1 r" {% ]# N4 T
; G. B1 M+ a, ]+ R7 s# u$ O

* h6 P- t- m4 p' N假设已经获取一个近似解y1，则可以通过一次迭代求取更优解y2：

# W. g6 q, E2 D0 M* |0 i  F1 A

神奇的是计算y2仅需要乘法和减法运算，于是有如下代码：
+ N8 o: j4 H' U, d: \) Y  O4 F
y = y * (1.5 - halfx * y * y);   // 一次牛顿迭代

该行代码返回优化后的平方根倒数，也就是最终运算结果。

性能测试
接下来我会在STM32G071上测试Fast Inverse Square Root算法与<math.h>中提供的double sqrt(double)算法的性能，并尝试以此证明它为何被尊为经典。STM32G071运行在64MHz下，编译器和调试器优化分别为-O0和-g3。
使用uint32_t替代long型：

1. float FInvSqrtRoot(float x)
   
2. 
   ! `+ C* a; n4 Z; `* t( Z( ^
3. {
   ' y+ ?% V' F9 }+ @' J7 Z3 @
4. 
   " K8 [' N- m4 U+ J+ t$ g
5.     uint32_t i = 0;
   
6. 
   
7.     float y, halfx;
   
8. 
   + i7 g% T/ q( i4 l, H+ I( w+ b2 d
9.     halfx = 0.5 * x;
   , o3 T* ~2 M0 t3 \6 C3 j
10. 
    # y: x) V9 L* S* c
11.     i = *(uint32_t*) &x;             // 按照整型方法操作浮点数
    
12. 
    
13.     i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 施放魔法
    : w/ b3 A# G2 {& `9 e2 |  A
14. 
    0 ~9 _4 d! @9 _( D+ c
15.     y = *(float*) &i;                // 获得平方根倒数近似值
    . a" D' F8 \3 {8 x, J$ }
16. 
    " ], Y7 L: A# b0 I  D
17.     y = y * (1.5 - halfx * y * y);   // 一次牛顿迭代
    6 u0 P1 T  h: j( W" t
18. 
    , [/ l8 b' f! e$ Z
19.     return y;
    % d( o. p- H. |# W5 \0 N! r# ?
20. 
    4 L! ]6 y) ]2 Q( }
21. }
复制代码

因为STM32G071的RAM大小为36KB，先构造了8000个float数据的数组，大小为32KB；构造方法如下：

1. float test_data[8000] ={ 0 };
   * R$ S( Z; Z0 T) _5 T
2. 
   1 G% S# ^" u5 m* d$ F. c
3. for (uint16_t i = 0; i < 8000; i++)
   
4. 
   
5.   test_data[i] = i * 1000 + (float)i / 1000;
复制代码

使用两种不同算法处理上述8000个数据，测试代码如下（注意此处仅作演示，测试方法不一定严谨）：
. @/ y' r4 S" B( D+ |

1. //平方根倒数速算法
   & m5 G9 |$ l! l2 k
2. 
   
3. printf("FISR Test Start!\r\n");
   1 g5 O# a/ T/ y' f3 v$ @8 ~' s6 ^, t
4. 
   5 w& N( [& o' r- [
5. ticks = 0;//定时器计数，1ms/tick
   - a7 M1 t4 G, [, P9 |, N  d
6. 
   9 r, ^: i1 x5 e4 W, {/ r
7. HAL_TIM_Base_Start_IT(&htim1);
   ; K* O  Z* u; K. a* F
8. 
   
9. for (uint16_t i = 0; i < 8000; i++)
   
10. 
    
11.   sroot=FInvSqrtRoot(test_data[i]);
    
12. 
    & R6 t5 O! D2 ^
13. HAL_TIM_Base_Stop_IT(&htim1);
    
14. 
    
15. printf("FISR Test Stop!\r\n");
    
16. 
    
17. printf("FISR Time Elapsed:%f\r\n", ((float) ticks) / 1000);
    ; |6 n5 ?% _" B  e5 l2 N, M% Q
18. 
    
19. 
    & u0 I( d( Y. v+ }. K- h
20. 
    
21. //传统1/sqrt()
    + G! d  [1 B/ x8 i0 z
22. 
    
23. printf("SQRT Test Start!\r\n");
    
24. 
    4 ?& V) e! y  H7 x! A' J
25. ticks = 0;
    # _5 `7 O) `5 i( \2 z
26. 
    
27. HAL_TIM_Base_Start_IT(&htim1);
    
28. 
    
29. for (uint16_t i = 0; i < 8000; i++)
    
30. 
    
31.   sroot=1 / sqrt(test_data[i]);
    
32. 
    1 \9 |2 G. C3 t* q  y
33. HAL_TIM_Base_Stop_IT(&htim1);
    ; T1 L0 \, x7 e& {* {4 u  s& A! x4 y
34. 
    9 t0 o& {3 B& r
35. printf("SQRT Test Stop!\r\n");
    
36. 
    
37. printf("SQRT Time Elapsed:%f\r\n", ((float) ticks) / 1000);

复制代码

在上述测试环境下，FInvSqrtRoot耗时181ms，1 / sqrt()耗时325ms，FInvSqrtRoot比1 / sqrt()快大约79%。由于sroot是float型，sqrt()返回double型，所以1 / sqrt()测试时有额外的类型转换损耗；将sroot更改为double型，则类型转换损耗由FInvSqrtRoot承担；该状态下，FInvSqrtRoot耗时187ms，1 / sqrt()耗时315ms，FInvSqrtRoot比1 / sqrt()快大约68%。注意FInvSqrtRoot求取的仅是平方根倒数的近似值，和1 / sqrt()比对，误差约在1%以内。
3 ?2 |0 `0 S) c0 J* a! I" E+ G, O
$ d) P. O) S0 L 魔改：平方根速算法
0 p- C0 l, b1 D9 D根据上述原理，可将平方根倒数速算法修改为平方根速算法，代码如下：

1. float FSqrtRoot(float x) {
   
2. 
   
3.     uint32_t i = 0;
   
4. 
   & E- ~4 k  J8 n* u( \  j0 }
5.     float y;
   
6. 
   
7.     i = *(uint32_t *) &x;            // 按照整型方法操作浮点数
   
8. 
   - R- N8 @$ W0 |# w) l
9.     i = 0x1fbd1df5 + (i >> 1);       // 施放魔法
   
10. 
    
11.     y = *(float *) &i;               // 获得平方根近似值
    
12. 
    
13.     y = 0.5 * (y + x / y);           // 一次牛顿迭代
    
14. 
    / \$ X+ @. |$ {$ m
15.     return y;
    ' A- K. p, r- z, c1 d$ P: s9 y( p! y: R
16. 
    
17. }

复制代码

在上述测试环境下，FSqrtRoot耗时109ms，sqrt()耗时221ms，FInvSqrtRoot比sqrt()快大约100%。由于sroot是float型，sqrt()返回double型，所以sqrt()测试时有额外的类型转换损耗；将sroot更改为double型，则类型转换损耗由FSqrtRoot承担；该状态下，FSqrtRoot耗时115ms，sqrt()耗时208ms，FInvSqrtRoot比sqrt()快大约80%。
感兴趣的朋友可自行推导实验，算法性能也请根据实际需求比对。
2 W) @# F$ v& P& m; z---------------------
% G. u2 z0 `# {. d7 m! d6 Q, |( O作者：Litthins
; H! N- l6 X  j
" X( v- K; k4 W