家介绍经典C语言平方根倒数速算法（或称Fast Inverse Square Root）。详细推导魔法数字0x5f3759df究竟从何而来，并最终在MCU上对比该算法和<math.h>中double sqrt(double)方法的性能表现并给出使用建议。本文不涉及高深的数学变换或复杂的计算机原理，但希望读者具备一些C语言基础；此外任何相关领域的积累都可能有助于内容理解。

希望本文能帮助到有需要的朋友。
+ M5 e7 w' q, B; D2 P. ]6 h2 D
9 k9 z" A* o! }6 n平方根倒数简介
求平方根倒数在向量单位化操作中很常见，先举个例子，假设在二维平面内有一向量：
3 D% U' d8 ?5 @1 O3 h+ v

9 G' X" J* b) x8 U将该向量单位化，即将向量模长缩放为1，用向量除以它的模，可以表达成下式：
8 Y: z4 K/ x' U& w

此处，单位向量的坐标，即是原向量坐标和模长倒数的乘积。
一般而言，对任一数x，

即被称作平方根倒数。

/ T* ]( y7 t! `4 x9 {! `C语言内求平方根倒数

C语言内求平方根属于常规操作，因为<math.h>中已经提供了double sqrt(double)函数给大家调用，该函数接收一个double型变量，并返回其平方根。部分场合使用float类型，如果是我，我会这么写：

1. #include <math.h>
   
2. 
   
3. float x =0;
   & S6 R. J; z; T) e8 u. s
4. 
   4 o8 N" e' l- l7 J) g  j4 a; P
5. float inverse_square_root =0;
   : _9 D% a: S0 B/ T, d
6. 
   ; |3 A  f8 D' |0 T* S: [
7. inverse_square_root =1/sqrt(x);

复制代码

6 W1 h9 N7 T+ l+ J

事实上，大多数计算机处理加法和乘法时更快，对于除法和开方运算，速度相对较慢。定义在<math.h>中的sqrt()方法其系统开销是比较大的，尤其在部分MCU上，有时不能很好地满足系统实时性要求。

2 g1 W. y$ _* h

速算法介绍
8 i% O; c" ^- ~& @( R9 w该情景与上世纪末PC算力较低的情况颇有几分相似，而在那段PC内存按MB计算的岁月里，优秀的C语言程序员们找到了该问题的解决方法：平方根倒数速算法（Fast Inverse Square Root），据说该算法最早由GaryTarolli在SGI Indigo开发中使用，对起源感兴趣的朋友可自行探究。
平方根倒数速算法是一个单独的函数实现，代码如下：

1. float FInvSqrtRoot(float x)
   
2. 
   ' X  P0 T  U% z3 Z, I3 {
3. {
   
4. 
   ; X2 z# N1 ]( M$ T& ~8 {
5.     long i = 0;
   5 |" B5 ?. J' P+ Y
6. 
   
7.     float y, halfx;
   
8. 
   
9.     halfx = 0.5 * x;
   
10. 
    6 P; e% k) ?. d1 O4 ?5 d
11.     i = *(long*) &x;                 // 按照整型方法操作浮点数
    " d- F! z) m, l0 X: G" h
12. 
    4 O9 f7 [, {' y6 r
13.     i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 魔法？
    : Q! C8 K+ A% V* m3 z1 L- c! q
14. 
    $ _" Y% i3 ?2 t
15.     y = *(float*) &i;                // 获得平方根倒数近似值
    
16. 
    2 [1 r# `6 i9 g/ {8 n9 s  L
17.     y = y * (1.5 - halfx * y * y);   // 一次牛顿迭代
    
18. 
    
19.     return y;
    
20. 
    
21. }

复制代码

该函数接收一个float型变量，并返回其平方根倒数。

* H" K# R) K2 v) C

Step1.奇怪的地址类型转换

1. i = *(long *) &x;                // 按照整型方法操作浮点数

复制代码

1 Q5 h/ u7 Y& i; H1 d* k

代码第四行将浮点数x按照整型数据操作，这里的操作方法与类型转换有很大不同；类型转换将内存中按照浮点数标准表示的值近似为最接近的整数，并按照整数标准储存在内存中，像这样：i=(long)x;要理解*(long *) &x与(long)x的不同，需要了解浮点数在计算机中的表示方法。
浮点数在计算机中使用类似科学计数法的形式储存，float类型的浮点数使用32bit表示，结构如下：

# }" O# {6 Q8 t* U7 S0 ]2 Y( W

最高位，第31位，为符号位，若S=0，该浮点数为正数；若S=1，该浮点数为负数。
接下来的8位数字，为指数部分，指数E范围为[0，255]，为可以表示负指数，规定在E的范围基础上-127，即[-127，128]；例如E=3表示2^(3-127)=2^(-124)。
接下来的23位数字，为尾数部分，即有效数字部分。由于二进制下有效数字必为1.xxx的形式，整数部分必为1，因此无需使用第22位表示整数1，而是直接表示小数点后一位，整数部分不在尾数M中体现，只在计算时加上；即M=0101…表示二进制的1.0101。以上，float型浮点数在内存中的存放形式已经明确。
现假设有一float型浮点正数x，其在内存中按照上述方式存放，即：

则x表示的浮点数值为：

注意平方根倒数速算法只接收正数，所以全文只讨论x为正浮点数的情况。

此时再回来看i=*(long *) &x这行代码；

第一步；取x的地址，注意此时x的地址指向一个浮点数，内存中对应的数据为：E*2^23+M

第二步；将该地址转换为指向long整型的地址，注意转换的是地址类型而不是数据，现在内存中的数据仍然是：E*2^23+M

第三步，取该地址指向的数据，赋给i；此时程序将按照整型标准去读取这个数据。因此，可以将i理解为x对应内存数据的整型解释。现在可以对i进行整型支持的操作，比如接下来要用到的位移操作。

准备工作已经完成，现在进入算法的核心，即施放魔法：

1. i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 魔法？

复制代码

要理解这行代码，需要一点点数学铺垫；我们先给x表示的浮点数取个对数：

其中，M表示尾数，M/2^23范围在[0,1)之间；在极限理论中，若x属于[0,1]，有以下关系：

即在x接近0或1的条件下，log2(1+x)接近x；很明显当x不靠近0或1时，误差会变大，如下图左侧所示：

如果在等式右侧加入一个微小量u，可以使得x+u在[0,1]范围内近似log2(1+x)，如上图右侧所示：

所以有：

因此，

% O1 t$ _2 `* s/ A+ n9 a1 Y; v

此时再倒回去看浮点数x在内存中的存放形式，即：E*2^23+M；

因此可以认为浮点数的对数形式与其内存存放形式相似，只是添加了缩放和平移。我们知道：

令：

所以有：

将上式展开：

稍作整理：

这太棒了，因为浮点数在内存中的存放形式，即：E*2^23+M

而上式中

则相当于对其内存形式右移1位，即

由此可知，魔法数字0x5f3759df就是包含u在内的修正项：

至此我们已经完成了魔法代码的解析：

这太棒了，因为浮点数在内存中的存放形式，即：E*2^23+M

而上式中

则相当于对其内存形式右移1位，即

由此可知，魔法数字0x5f3759df就是包含u在内的修正项：

至此我们已经完成了魔法代码的解析：

1. i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 魔法

复制代码

i就是x对应内存数据的整型解释，将i右移1位相当于乘以二分之一，也就是1/2*(Ex*2^23+Mx);

等式右侧的运算结果，就是

，也就是

即

注意此时程序认为i是整型变量，所以需要下一行代码再将其转换为浮点型；

y = *(float *) &i;              // 获得平方根倒数估计值

此时y即是x的平方根倒数。

Step3.优化结果
由于上述推导中，引入了修正系数u，所以y只是近似解。
& w1 }% p% m4 E9 [1 S, n
% A7 c" ^1 Z* I接下来使用牛顿法（Newton Method）进行一次迭代，使y更接近准确值。简单来说，使用牛顿法，可以从一个近似解获得一个更接近准确答案的解；牛顿法的核心思想是迭代，对于我们正在讨论的问题，属于已知x求y的类型，即
6 N- M5 a- a6 Q% A8 U( `9 N

9 ^5 B4 ?$ ?1 q' Z8 h3 d* f
假设已经获取一个近似解y1，则可以通过一次迭代求取更优解y2：
  g, X: k0 ?, v$ m

/ v) W# `8 j5 ~% A( q  u
. c, e! \/ _  `/ R3 j6 G神奇的是计算y2仅需要乘法和减法运算，于是有如下代码：
# n) A) ?1 l2 w5 @" B
7 M4 O& V, I. p( V* s$ Yy = y * (1.5 - halfx * y * y);   // 一次牛顿迭代

该行代码返回优化后的平方根倒数，也就是最终运算结果。

性能测试
接下来我会在STM32G071上测试Fast Inverse Square Root算法与<math.h>中提供的double sqrt(double)算法的性能，并尝试以此证明它为何被尊为经典。STM32G071运行在64MHz下，编译器和调试器优化分别为-O0和-g3。
使用uint32_t替代long型：
+ k, g; O8 J/ H+ K, R

, i3 t; ?% x9 c* d  m, t! ~5 A& V: P
1. float FInvSqrtRoot(float x)
   
2. 
   
3. {
   / ~/ v3 Y3 |, D) y5 \
4. 
   * i7 `6 v; R: g- f9 g+ X& M3 i9 ^
5.     uint32_t i = 0;
   8 v& u( J: a) k0 Q9 ]/ R
6. 
   / \4 f& p  y1 b+ L
7.     float y, halfx;
   
8. 
   
9.     halfx = 0.5 * x;
   2 v. k, I. r- r) L3 `
10. 
    
11.     i = *(uint32_t*) &x;             // 按照整型方法操作浮点数
    8 F% U) v  p. i/ N/ w3 F
12. 
    
13.     i = 0x5f3759df - (i >> 1);       // 施放魔法
    $ S$ a% l$ t- Z+ B* u5 s+ I
14. 
    6 X. S+ ?7 X- k# S! `1 V4 Z7 b
15.     y = *(float*) &i;                // 获得平方根倒数近似值
    
16. 
    ) `1 w& `) i# A/ G9 }% h% B8 r
17.     y = y * (1.5 - halfx * y * y);   // 一次牛顿迭代
    
18. 
    : i3 f  R% p+ h: t
19.     return y;
    
20. 
    
21. }
复制代码

/ x$ ~: b8 `& Z6 A) Q9 U7 X! I
0 L% I# c9 ?  z9 j9 h0 c/ b因为STM32G071的RAM大小为36KB，先构造了8000个float数据的数组，大小为32KB；构造方法如下：

) T6 s* I$ ^: _+ D+ }

1. float test_data[8000] ={ 0 };
   ! ~7 u' Z% N8 B: {7 A
2. 
   * ?0 E6 L4 \  @4 @7 P, \
3. for (uint16_t i = 0; i < 8000; i++)
   - d3 r# ^+ ]" |* }* z, b
4. 
   
5.   test_data[i] = i * 1000 + (float)i / 1000;
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/ \6 `% ]6 C& n& G使用两种不同算法处理上述8000个数据，测试代码如下（注意此处仅作演示，测试方法不一定严谨）：
0 r& Q; d2 [: z7 ?' J

1. //平方根倒数速算法
   3 e; C, M0 B& O' g( {+ Z
2. 
   
3. printf("FISR Test Start!\r\n");
   % f9 r2 _% G+ @& S! P2 }- P7 h
4. 
   
5. ticks = 0;//定时器计数，1ms/tick
   
6. 
   
7. HAL_TIM_Base_Start_IT(&htim1);
   
8. 
   
9. for (uint16_t i = 0; i < 8000; i++)
   
10. 
    ! y; b: h2 ~: e, }- T
11.   sroot=FInvSqrtRoot(test_data[i]);
    * ?$ v; D6 v  k# c$ X
12. 
    
13. HAL_TIM_Base_Stop_IT(&htim1);
    % @# H' X* q- a; L7 g/ c
14. 
    4 a" d# J9 a/ Y! B1 e6 g
15. printf("FISR Test Stop!\r\n");
    
16. 
    % D2 z0 a4 h! P- C0 S  ]+ q" U4 O  t
17. printf("FISR Time Elapsed:%f\r\n", ((float) ticks) / 1000);
    + Q9 ?" w" n( P+ S  o# T
18. 
    + s- q8 _4 }- s. L2 B' Q
19. 
    
20. 
    
21. //传统1/sqrt()
      p! K- |" C2 f0 V/ c, m2 g
22. 
    # }9 v# R. V* _3 G3 U
23. printf("SQRT Test Start!\r\n");
    0 {" J+ {- O5 p; u5 T3 q
24. 
    # [3 }( d1 h$ u
25. ticks = 0;
    # C5 a6 W6 n2 e: y) R2 B$ v
26. 
    
27. HAL_TIM_Base_Start_IT(&htim1);
    
28. 
    
29. for (uint16_t i = 0; i < 8000; i++)
    / ], l3 U, N. ^# X3 |
30. 
    # v2 T+ C3 Q  L- B6 a  B
31.   sroot=1 / sqrt(test_data[i]);
    / Q! V1 f" L6 H; a
32. 
    
33. HAL_TIM_Base_Stop_IT(&htim1);
    
34. 
    
35. printf("SQRT Test Stop!\r\n");
    
36. 
    , W) f* d; i. w- i8 O4 j2 i0 W
37. printf("SQRT Time Elapsed:%f\r\n", ((float) ticks) / 1000);

复制代码

在上述测试环境下，FInvSqrtRoot耗时181ms，1 / sqrt()耗时325ms，FInvSqrtRoot比1 / sqrt()快大约79%。由于sroot是float型，sqrt()返回double型，所以1 / sqrt()测试时有额外的类型转换损耗；将sroot更改为double型，则类型转换损耗由FInvSqrtRoot承担；该状态下，FInvSqrtRoot耗时187ms，1 / sqrt()耗时315ms，FInvSqrtRoot比1 / sqrt()快大约68%。注意FInvSqrtRoot求取的仅是平方根倒数的近似值，和1 / sqrt()比对，误差约在1%以内。

魔改：平方根速算法
根据上述原理，可将平方根倒数速算法修改为平方根速算法，代码如下：
6 R. Y/ |: |7 L
  P9 s, n7 P7 R4 k7 \

1. float FSqrtRoot(float x) {
   $ y5 {' I/ n% O1 a
2. 
   
3.     uint32_t i = 0;
   
4. 
   
5.     float y;
   
6. 
   " d2 D5 i' G( e) _4 D
7.     i = *(uint32_t *) &x;            // 按照整型方法操作浮点数
   6 y' b# ]! C% E0 |; z8 s3 o
8. 
   
9.     i = 0x1fbd1df5 + (i >> 1);       // 施放魔法
   
10. 
    
11.     y = *(float *) &i;               // 获得平方根近似值
    0 r2 F  k2 [# V2 @! G) p0 f% Z
12. 
    " J2 H- A2 |: u, \0 e
13.     y = 0.5 * (y + x / y);           // 一次牛顿迭代
    
14. 
    : e* U# b$ B8 v: j% f4 g
15.     return y;
    
16. 
    # n* e- h9 F3 S3 R& s
17. }

复制代码

在上述测试环境下，FSqrtRoot耗时109ms，sqrt()耗时221ms，FInvSqrtRoot比sqrt()快大约100%。由于sroot是float型，sqrt()返回double型，所以sqrt()测试时有额外的类型转换损耗；将sroot更改为double型，则类型转换损耗由FSqrtRoot承担；该状态下，FSqrtRoot耗时115ms，sqrt()耗时208ms，FInvSqrtRoot比sqrt()快大约80%。
感兴趣的朋友可自行推导实验，算法性能也请根据实际需求比对。
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作者：Litthins


4 A, {# l  i3 b