MEMS 传感器中的噪声分析和识别，Allan，时间，Hadamard，重叠，修正，总体方差

STMCU小助手 · 2022-12-02T07:20:53+00:00

- Y8 s& w) Q2 K: I/ l% g , n! M4 D h) p# M' A8 H - [1 i) M7 z o/ H0 q9 @: G+ }' ]& _- n5 l: } ) k2 N/ C/ Z p目的和益处 : k8 p/ N1 F, F- ~3 A# S( p p本设计建议阐释了如何分析和识别 MEMS 传感器中的噪声。解释了 Allan 和 Hadamard 方差及其变体（重叠、修正和总体）。还提到了理论方差#1（Theo1）。% p8 e* R; H! D, q8 l 优势：! Z# d% z6 @) O0 b: ?# Y 如何通过 Allan 和其他方差来表征 MEMS 传感器5 s! o' K9 z5 e 信号和噪声 0 j8 u: }: g; [( y基本假设是：测量期间目标信号是恒定且平稳的。但是传感器输出是目标信号和噪声的总和。大体上，从长期看噪声应该平均为零。 - V! q. G; W( C+ y; b% n/ d测量期间采集多个样本。噪声的分析和识别可以帮助确定要使传感器输出的方差最小，需要对多少个样本取平均。 4 ]8 Y4 `; _6 [1 M标准方差的问题在于，它不能很好地表征增加数据运行长度时的情形。为了解决此问题，开发出了 Allan 方差。Allan 方差 σ2被计算为连续“样本”（2 样本方差）之间的平方差的平均值。! w' S+ T( p/ A) d 通过在时间间隔 τ = m*Ts 中对 m 个样本求平均来计算“样本”，其中 Ts=1/Fs 是采样间隔，Fs 是采样频率。 , M2 O4 Y* U5 c. N4 M5 `) }" n, y1 K+ D* Q! H+ k* A# _4 L8 f 2 o0 m3 T6 u2 z" A7 YAllan 方差等等 ' |4 d, ` H2 z( T; V- `: {' Y4 \) v! SAllan 偏差 σ(τ)是 Allan 方差 σ2(τ)的平方根。对数-对数图的斜率取决于噪声类型。该斜率能够识别噪声类型。参见下表。( s& F4 I" n: T- l 可以使用数字滤波器链来计算 Allan 方差（非重叠 AVAR，重叠 OAVAR，修正 MAVAR）和Hadamard 方差（非重叠 HVAR 和重叠 OHVAR）： ' v: a$ T; q$ Q* w' c& eM(m)是 m 个样本的移动平均值，, X) U% b* P+ d( D' f$ }/ i D1(m)是第 n 个样本与第(n+m+1) 个样本之间的一阶差， " N; ^/ Z( N' e8 ?; H( ^4 Nm：通过从 m 个样本中选择 1 个样本进行 1 次下采样" n, O8 C% i, I- R 8 a% t4 G- Y! T瞬态不得出现在输出中。通过对输出样本求平方和求平均来计算方差。偏差是方差的平方根。可以将偏差的置信度估计为偏差本身除以平均输出样本数的平方根。. ~. u8 ]! w( c; ?9 U: o J7 Y , X p/ a0 d' j# W0 W6 s! A! a 2 R7 s0 u/ S" f' h) J 5 M9 \, `( j- w7 ] # j7 i4 @; y0 ?6 o8 [ Y2 D( E2 [$ B% C 一些重要说明：; R0 W4 m4 R8 g8 @& b 重叠 Allan（OAVAR）和重叠 Hadamard 方差（OHVAR）具有更好的置信度，应该用于 m = 10%的数据运行长度情况下。 . F$ H6 }9 n6 a时间方差（TVAR）是修正 Allan 方差（MAVAR）的缩放版本，缩放因子是 τ2/3。对于白相位噪声它是最佳的（这意味着：白高斯噪声的导数，称为白频噪声）。6 v) X7 h* Y1 a Allan 总体、修正总体和 Hadamard 总体方差在 m = 30-50%的数据运行长度时具有更好的置信度。通过在两侧反射来扩展数据运行长度，以此来计算总体方差。对于Allan，反射样本数量为 2m，对于修正 Allan 和 Hadamard，反应样本数量为 3m。 2 U, j4 ~: W( P& s- O理论#1 方差（Theo1）在 m = 75%的数据运行长度下具有更好的置信度。对于所有其他方差，步幅时间与用于计算“样本”的平均时间相同，var(τ=m*Ts)。对于 Theo1，步幅时间是 m*Ts 减去平均时间；平均时间从 m/2 下降到 1；步幅时间从 m/2 降到m-1；平均步幅时间为 0.75*m*Ts：Theo1(τ=0.75*m*Ts)。Theo1 有偏差，Theo1BR（去除偏差）是无偏的，m 10%时是Theo1BR。( @* F7 h. T" p8 i0 f; C ; M& O$ M% y" C用来计算方差的 MatLab 代码, M$ p! a5 F( \5 } 这是将上述方差计算为数字滤波器链的参考 MatLab 代码。 , q9 t X+ ^9 t: E8 G$ D : p* m. c8 ]. G2 \" ^% L % Allan 作为一个数字滤波器/ y& j" c. U; X( F8 D n % 平均因子，平均 n 个样本4 P2 E* U: o5 D3 K+ | Fs % 采样频率 " J' y) ] ~/ `' W6 Y' Q Ts=1/Ts; + B, O) n% y% Z. g+ T# r tau=n*Ts; - I3 _( v; `4 H7 [8 Y* l: X6 ^ # z- X+ J7 v) N! c5 H6 S- Y3 Z %---- STDVAR 和 OSTDVAR2 w7 I# ?' H4 I Mn=ones(1,n)/n; % 平均滤波器 9 y# U( j5 l. N1 I6 Q0 K dataM=filter(Mn,1,data); dataM=dataM(n:end); % 滤波并去除瞬态- x1 B6 r8 f- O% b6 T3 h1 f Y ostdvar()=var(dataM);1 X$ J3 n9 P/ m1 s& y; J; C% L stdvar()=var(dataM(1:n:end)); # x$ Y& S/ p) W+ Y% t, B8 q- d * M6 l) ? a5 [7 q7 c8 x3 w( v6 f 1 @, r0 I" ^- ^3 i$ A( g9 E+ g/ w %---- AVAR 和 OAVAR3 g Y# w$ x4 C5 j D1n=zeros(1,n+1); D1n(1)=+1; D1n(end)=-1; % 差分滤波器 7 Q# _3 G( D( Z) j- x dataMD=filter(D1n,1,dataM); dataMD=dataMD(n+1:end); % 滤波并去除瞬态 A; f- v4 \# f0 ? L=length(dataMD); oavar()=0.5*sum(dataMD.^2)/(L); ! U, |4 \ F- u2 r. q L=length(dataMD(1:n:end)); avar()=0.5*sum(dataMD(1:n:end).^2)/(L); 7 V7 L1 m- H) u+ y% F4 B- Q. x H* X; T/ s- N/ ]! O/ u) \ : j( h2 k$ w& _ %---- MAVAR & L- f6 [9 C4 c* E, l- ~% a dataMDM=filter(Mn,1,dataMD);9 q1 U8 f( {7 p# @) N/ U dataMDM=dataMDM(n:end); $ G6 o4 ], Q5 B+ [ L=length(dataMDM); mavar()=0.5*sum(dataMDM.^2)/(L); . v, {2 i) Z6 e' C& l+ q& l : O! g. w6 V1 W ( V( _' ]% s. @1 J) \ %---- HVAR 和 OHVAR 0 M2 G& ]3 G; Q8 b, r0 d dataMDD=filter(D1n,1,dataMD); dataMDD=dataMDD(n+1:end); % 滤波并去除瞬态2 f/ b ^6 Y( ` L=length(dataMDD); ohvar()=0.5*sum(dataMDD.^2)/(L);9 n2 R+ X% ]& U& X7 j4 G0 f* I L=length(dataMDD(1:n:end)); hvar()=0.5*sum(dataMDD(1:n:end).^2)/(L);& A; ?7 |, v9 [* S% D 4 j/ }3 x1 p2 B3 m3 X% O9 @' @上述代码中最慢的一行是移动平均滤波器。如果在添加新项的同时丢弃旧项并保持运行总量不变，则执行速度会快很多。 5 X& g7 V# H; d8 X" b, E % OAVAR 最优化" J* O9 q' P7 I, n* d& G) I n2=n*n; 5 P8 h/ X' Z$ M acc(1)=sum(data(1:n)); % 初始化运行总数 5 }- ^* z- }3 w( `) O for i=1:N-n, acc(i+1)=acc(i)-data(i)+data(i+n); end; % 运行总数 ( y4 j y7 x2 E8 a3 ]9 ?$ Z5 d oavar()=0.5*sum( (acc(1:N-2*n+1) - acc(1+n:N-n+1)).^2 )/(N-2*n+1)/n2;8 J$ `- R: f) b 6 q* ` K2 h8 F D u" _; V # g$ Z) A2 J$ D4 s! t6 | a % AVAR0 ]: r& T* }+ P$ u5 _, k6 p$ q& w diffL=fix((N-2*n+1 -1)/n)+1;2 o% M0 o+ T' f1 O e! C" O6 U avar()=0.5*sum( (acc(1:n:N-2*n+1)-acc(1+n:n:N-n+1)).^2 )/(diffL)/n2; 7 j; X5 c7 T/ E0 g4 _% l. F2 {0 Q/ ^% u% w) K* [% f1 _) C0 L " V0 V5 o7 }: ~# `& O. I % STDVAR 和 OSTDVAR " l# [# o- a6 v; c stdvar()=var(acc(1:n:N-n+1))/n2; : |- k* g5 u( T) w0 a1 v ostdvar()=var(acc(1:N-n+1))/n2;3 Y* q6 w/ ~' c3 K- G F# u! J6 z. F+ c* |0 b . R( P7 v0 ^4 \; ^4 I4 [6 g9 {. T0 X % MAVAR 最优化 , r/ _% n, @+ v) ~ \4 ` n4=n2*n2; / N+ M' j9 l/ h' ?- a9 S acc2(1)=sum(acc(1:n)); % 初始化运行总数 " Q) b, ?3 N5 u/ H: G for i=1:N-2*n+1, acc2(i+1)=acc2(i)-acc(i)+acc(i+n); end; % 运行总数 " f2 H8 c) a2 k& }, o7 m mavar()=0.5*sum( (acc2(1:N-3*n+2) - acc2(1+n:N-2*n+2)).^2 )/(N-3*n+2)/n4; 8 C: W( W$ _( Y: B ( L8 A' q2 p8 x% Q0 D! o o; Q5 s$ Z$ s1 v, J % OHVAR9 N' `. W/ m! W+ P. m# O n ohvar()=0.5*sum( ( (acc(1 :N-3*n+1) - acc(1+ n:N-2*n+1)) - ... a" X' h7 g- Y* F2 b (acc(1+n:N-2*n+1) - acc(1+2*n:N- n+1)) ).^2 )/(N-3*n+1)/n2; ) Q3 A( ~ ?! x$ P! P% f' f; G/ Y6 Y# g% y8 d / D3 k0 J; B0 @3 }" |; a % HVAR ; p' M" `4 C, G diffL=fix((N-3*n+1 -1)/n)+1;* m4 v) {& Z+ ^; E$ t, v+ |0 _ hvar()=0.5*sum( ( (acc(1 :n:N-3*n+1) - acc(1+ n:n:N-2*n+1)) - ...6 O/ E+ k& o- ` E% n) i# `# [ (acc(1+n:n:N-2*n+1) - acc(1+2*n:n:N- n+1)) ).^2 )/(diffL)/n2; * n5 ^ ?! E1 H& y% S2 R代码可以进一步优化。例如，对于优化的 C 代码，有可能计算一次得出方差（但通常需要两次计算：第一次用于求均值，第二次用来求实际方差）。4 U; f% B0 H) N# n8 p9 D5 O - y5 U7 i/ f0 j9 S& S: w完整版请查看：附件 . D5 |1 a+ X8 f! K! F7 J! B

MEMS 传感器中的噪声分析和识别，Allan，时间，Hadamard，重叠，修正，总体方差

[复制链接]

STMCU小助手发布时间：2022-12-2 15:20

技术帖
文章封面:
文章简介:	MEMS 传感器中的噪声分析和识别，Allan，时间，Hadamard，重叠，修正，总体方差

目的和益处
本设计建议阐释了如何分析和识别 MEMS 传感器中的噪声。解释了 Allan 和 Hadamard 方差及其变体（重叠、修正和总体）。还提到了理论方差#1（Theo1）。
优势：
如何通过 Allan 和其他方差来表征 MEMS 传感器
信号和噪声
基本假设是：测量期间目标信号是恒定且平稳的。但是传感器输出是目标信号和噪声的总和。大体上，从长期看噪声应该平均为零。
测量期间采集多个样本。噪声的分析和识别可以帮助确定要使传感器输出的方差最小，需要对多少个样本取平均。
标准方差的问题在于，它不能很好地表征增加数据运行长度时的情形。为了解决此问题，开发出了 Allan 方差。Allan 方差 σ2被计算为连续“样本”（2 样本方差）之间的平方差的平均值。
通过在时间间隔 τ = m*Ts 中对 m 个样本求平均来计算“样本”，其中 Ts=1/Fs 是采样间隔，Fs 是采样频率。

Allan 方差等等
Allan 偏差 σ(τ)是 Allan 方差 σ2(τ)的平方根。对数-对数图的斜率取决于噪声类型。该斜率能够识别噪声类型。参见下表。
可以使用数字滤波器链来计算 Allan 方差（非重叠 AVAR，重叠 OAVAR，修正 MAVAR）和Hadamard 方差（非重叠 HVAR 和重叠 OHVAR）：
M(m)是 m 个样本的移动平均值，
D1(m)是第 n 个样本与第(n+m+1) 个样本之间的一阶差，
m：通过从 m 个样本中选择 1 个样本进行 1 次下采样

瞬态不得出现在输出中。通过对输出样本求平方和求平均来计算方差。偏差是方差的平方根。可以将偏差的置信度估计为偏差本身除以平均输出样本数的平方根。

$HWQ{XD~2FBJLN2P)[86@__7.png$

一些重要说明：
重叠 Allan（OAVAR）和重叠 Hadamard 方差（OHVAR）具有更好的置信度，应该用于 m = 10%的数据运行长度情况下。
时间方差（TVAR）是修正 Allan 方差（MAVAR）的缩放版本，缩放因子是 τ2/3。对于白相位噪声它是最佳的（这意味着：白高斯噪声的导数，称为白频噪声）。
Allan 总体、修正总体和 Hadamard 总体方差在 m = 30-50%的数据运行长度时具有更好的置信度。通过在两侧反射来扩展数据运行长度，以此来计算总体方差。对于Allan，反射样本数量为 2m，对于修正 Allan 和 Hadamard，反应样本数量为 3m。
理论#1 方差（Theo1）在 m = 75%的数据运行长度下具有更好的置信度。对于所有其他方差，步幅时间与用于计算“样本”的平均时间相同，var(τ=m*Ts)。对于 Theo1，步幅时间是 m*Ts 减去平均时间；平均时间从 m/2 下降到 1；步幅时间从 m/2 降到m-1；平均步幅时间为 0.75*m*Ts：Theo1(τ=0.75*m*Ts)。Theo1 有偏差，Theo1BR（去除偏差）是无偏的，m <10%时 Theo1H 是 Allan，而 m> 10%时是Theo1BR。

用来计算方差的 MatLab 代码
这是将上述方差计算为数字滤波器链的参考 MatLab 代码。

% Allan 作为一个数字滤波器
n % 平均因子，平均 n 个样本
Fs % 采样频率
Ts=1/Ts;
tau=n*Ts;

%---- STDVAR 和 OSTDVAR
Mn=ones(1,n)/n; % 平均滤波器
dataM=filter(Mn,1,data); dataM=dataM(n:end); % 滤波并去除瞬态
ostdvar()=var(dataM);
stdvar()=var(dataM(1:n:end));

%---- AVAR 和 OAVAR
D1n=zeros(1,n+1); D1n(1)=+1; D1n(end)=-1; % 差分滤波器
dataMD=filter(D1n,1,dataM); dataMD=dataMD(n+1:end); % 滤波并去除瞬态
L=length(dataMD); oavar()=0.5*sum(dataMD.^2)/(L);
L=length(dataMD(1:n:end)); avar()=0.5*sum(dataMD(1:n:end).^2)/(L);

%---- MAVAR
dataMDM=filter(Mn,1,dataMD);
dataMDM=dataMDM(n:end);
L=length(dataMDM); mavar()=0.5*sum(dataMDM.^2)/(L);

%---- HVAR 和 OHVAR
dataMDD=filter(D1n,1,dataMD); dataMDD=dataMDD(n+1:end); % 滤波并去除瞬态
L=length(dataMDD); ohvar()=0.5*sum(dataMDD.^2)/(L);
L=length(dataMDD(1:n:end)); hvar()=0.5*sum(dataMDD(1:n:end).^2)/(L);

上述代码中最慢的一行是移动平均滤波器。如果在添加新项的同时丢弃旧项并保持运行总量不变，则执行速度会快很多。
% OAVAR 最优化
n2=n*n;
acc(1)=sum(data(1:n)); % 初始化运行总数
for i=1:N-n, acc(i+1)=acc(i)-data(i)+data(i+n); end; % 运行总数
oavar()=0.5*sum( (acc(1:N-2*n+1) - acc(1+n:N-n+1)).^2 )/(N-2*n+1)/n2;

% AVAR
diffL=fix((N-2*n+1 -1)/n)+1;
avar()=0.5*sum( (acc(1:n:N-2*n+1)-acc(1+n:n:N-n+1)).^2 )/(diffL)/n2;

% STDVAR 和 OSTDVAR
stdvar()=var(acc(1:n:N-n+1))/n2;
ostdvar()=var(acc(1:N-n+1))/n2;

% MAVAR 最优化
n4=n2*n2;
acc2(1)=sum(acc(1:n)); % 初始化运行总数
for i=1:N-2*n+1, acc2(i+1)=acc2(i)-acc(i)+acc(i+n); end; % 运行总数
mavar()=0.5*sum( (acc2(1:N-3*n+2) - acc2(1+n:N-2*n+2)).^2 )/(N-3*n+2)/n4;

% OHVAR
ohvar()=0.5*sum( ( (acc(1 :N-3*n+1) - acc(1+ n:N-2*n+1)) - ...
(acc(1+n:N-2*n+1) - acc(1+2*n:N- n+1)) ).^2 )/(N-3*n+1)/n2;

% HVAR
diffL=fix((N-3*n+1 -1)/n)+1;
hvar()=0.5*sum( ( (acc(1 :n:N-3*n+1) - acc(1+ n:n:N-2*n+1)) - ...
(acc(1+n:n:N-2*n+1) - acc(1+2*n:n:N- n+1)) ).^2 )/(diffL)/n2;
代码可以进一步优化。例如，对于优化的 C 代码，有可能计算一次得出方差（但通常需要两次计算：第一次用于求均值，第二次用来求实际方差）。

完整版请查看：附件