26.1 初学者重要提示
0 _# P' `1 q) l! Z7 c8 G8 |  下个章节为大家介绍两个重要知识点：频谱泄露和栅栏效应，推荐学习完毕本章后看一下。
' S* T3 q. [5 {2 _. G) J) y
26.2 FFT变换结果的物理意义
; f9 l$ F# `8 t+ v; V26.2.1        理论阐释
: h3 I, [+ d/ q虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

( f) P  s7 V" m% w2 L一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍（要满足奈奎斯特采样定律）。
" ?% w  \$ Y; I1 t
, k  }  S4 a- H% J5 m& j采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

  N6 y+ w, K6 m6 ]0 B8 ~' Z假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。 而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点 N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被 N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是：
' \$ L; Q* _& p$ l0 O
* j0 x: Q1 I- r9 Y$ Z

- L/ H0 G" U$ ?) s) \6 P
相位就是：
0 k. {  a$ T; U3 T* m# y

根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
+ R# B0 Z. f* J3 l- _
- A1 @  W4 S- D/ h

对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
- g0 J8 f, @' e. C2 _; V- o
26.2.2        理论计算和Matlab实际计算结果对比
下面以一个实际的信号来做说明：

, X3 ?" L2 c* O3 W- u, B假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
1 \# {/ T- }0 W. b3 l
x = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
$ Y) g, A9 `: B* i
$ Q" {2 G, c  g8 V1 R* m- g% s式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何如下：

5 Q6 e( ]6 h. w0 {8 N/ ~ 第一步：在matlab上新建.m文件，文件内容如下：
7 ^5 J7 h/ ?+ |3 w  t' c. HFs = 256;          % 采样率
9 ^, y3 H1 g; LN  = 256;         % 采样点数
n  = 0:N-1;        % 采样序列
2 p) A- E* j0 Q) C; ^t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;  % 时间序列
8 h# ^% }3 A  U6 H! l7 ^
6 n) W! M, K) Ox = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180) ;  %原始信号
# z/ W6 F& c, j( w; p
- {9 m; h7 X4 ty = fft(x);    %对原始信号做FFT变换
+ \5 K2 @% E/ E& p: IM = abs(y);  %求FFT转换结果的模值
9 h) g: _: d$ Z5 W& Z' \+ b5 }( aplot(n, M);   %绘制FFT转换模值的曲线
  A, B7 I+ ~4 F- o8 X 第二步：运行后显示效果如下：

# M5 H" D/ I; p: k8 ?
! i( T( o2 d/ ?# W4 c 第三步：从matlab的工作区获得几个关键点及其附近两个点的幅值：

) f" y5 u! ?' {1 g! w
1点，2点，3点的数值如下：
4 h6 D7 r! b5 v% H7 `$ ]5 T
; v8 }1 A) g6 N* W- y* `

) u% k7 d# ^* [0 b3 K, Z2 V50点，51点，52点的数值如下：

3 y. H, C' O+ ^- j7 S

3 y; n$ i/ ]0 ?/ j$ K1 b7 s75点，76点，77点的数值如下：

) m( y4 v1 f* X. ^  k, Z3 W5 c
1 h# Z( E- Z! M0 F/ [; y按照上面说的公式，可以计算出：
) B& O9 L2 z$ g! [
9 H) c  u' \. N9 `1 q) A直流分量为：       512/N=512/256=2；
4 x! B+ t0 F& a) h0 H* |
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；
2 R7 y6 y3 A4 N5 u
75Hz信号的幅度为：192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

0 D) u7 x2 j+ j2 x5 V8 Y2 y 第四步：计算相位
计算相位要获取FFT变换后相应频率点幅值的实部和虚部，这里看第一步代码中的y变量数值即可。

& D/ {6 w/ e/ M  X5 H由于直流信号没有相位可言。这里主要看50Hz的相位和75Hz的相位。
8 v2 k+ i1 @  y. ]* D
1、计算50Hz信号的相位。
! R1 |: u- D1 w7 z5 [) ]
y变量的第51点对应数值：332.553755053225 - 192.000000000000i

那么atan2(-192, 332.553)=-0.5236，这个结果是弧度，换算成角度180*(-0.5236)/pi=-30.0001。
2 ^+ |' U! L5 g* z% y
这个结果与cos(2*pi*50*t-pi*30/180)中相位是相符的。
! I6 D2 M7 P2 `& z  h  E2 u
% P) _& G% S+ m, d6 M; r2、计算75Hz信号的相位。
/ Q3 ]* P' x7 j3 v) s' N: O
$ P) g- B3 [+ z, ly变量的第76点对应数值：3.43858275186904e-12 + 192.000000000000i

; Y. p: J0 x- M; i7 \6 a# ?( T  j那么atan2(192, 3.43858275186904e-12)=1.5708弧度，换算成角度180*1.5708/pi=90.0002。这个结果与cos(2*pi*75*t+pi*90/180)中的相位是相符的。

* ]' i: n0 ~4 | 总结
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。

总的来说，这个过程就是这样：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法大家可参考相关文献。

$ u1 e4 k+ m1 t& O" @, Y3 ?% A26.3 FFT变换的频谱泄露问题
  ^$ [+ K' r3 D0 e& |. e为了说明频谱泄露的问题，这里我们具一个求解方波FFT变换的例子。在matlab中运行如下代码：

4 E" G! x+ ^6 Y- DFs = 256;             % 采样率
2 z1 z7 w# X1 aN  = 256;            % 采样点数
n  = 0:N-1;          % 采样序列
. S/ N" V" d, at  = 0:1/Fs:1-1/Fs;    % 时间序列
x = square(2*pi*30*t,  50);  %原始信号
/ ^8 k" U# x2 ey = fft(x);     %对原始信号做FFT变换
M = abs(y);  %求FFT转换结果的模值
2 i) ?( Z1 ]; Y' ]) Q, Mplot(n, M);   %绘制FFT转换模值的曲线
  |" R$ k3 f$ G/ k) J4 l运行代码，输出结果如下：

与方波的理论计算值相比，上面的幅频响应图中出现了很多小毛刺，其实这个就是频谱泄露的结果导致的。

下面就说说什么是频谱泄露：

* A7 _+ H: W* f  [3 A' A对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄露”出去的，这种现象称 为频谱“泄露"（结合上面的例子就更形象了）。

在实际问题中遇到的离散时间序列x(n)通常是无限长序列，因而处理这个序列的时候需要将它截断。截断相当于将序列乘以窗函数w(n)。根据频域卷积定理，时域中x(n)和w(n)相乘对应于频域中它们的离散傅立叶变换X(jw)和W(jw)的卷积。因此，x(n)截矩后的频谱不同于它以前的频谱。
  L% `5 T" o; t
7 c" |! Z2 q* T, F0 M1 C+ E9 R为了减小频谱“泄露”的影响，往往在FFT处理中采用加窗技术，典型的加窗序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的长度也可以减少频谱“泄露”。
+ J# t' A% S  R) |6 I
6 |! b# P, v9 s# D时域上乘上窗函数，相当于频域进行卷积。长度为无穷长的常数窗函数，频域为delta函数，卷积后的结果和原来一样。如果是有限矩形窗，频域是Sa函数，旁瓣电平起伏大，和原频谱卷积完，会产生较大的失真。

4 `8 {: k4 J' ~( |窗的频谱，越像delta函数（主瓣越窄，旁瓣越小），频谱的还原度越高。加窗就不可避免频谱泄漏，典型的加权序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列主要是为了降低降低旁瓣，对于降低频谱泄漏效果远不如增加窗序列的长度明显。

周期信号加窗后做DFT仍然有可能引起频谱泄露，设fs为采样频率，N为采样序列长度，分析频率为：m*fs/N（m=0，1....)，以cos函数为例，设其频率为f0,如果 f0不等于m*fs/N，就会引起除f0以外的其他m*fs/N点为非零值，即出现了泄露。

DFT作为有限长的运算，对于无限长的信号必须要进行一定程度的截断，既然信号已经不完整了，那么截断后的信号频谱肯定就会发生畸变，截断由窗函数来完成，实际的窗函数都存在着不同幅度的旁瓣，所以在卷积时，除了离散点的频率上有幅度分量外，在相邻的两个频率点之间也有不同程度的幅度，这些应该就是截断函数旁瓣所造成的。

) l, k4 ]2 u' J: f# j26.4 总结
通过本章节的讲解，大家应该对FFT变换结果的物理意义应该有更深入的理解了，通过后面章节的继续会让大家有更加深入的认识。
  {- R( M- I8 g" N; Z" s/ N