前面介绍过一期在STM32中进行傅里叶变换的教程，我们成功的对一段信号进行了傅里叶变换，获得其频率谱。
4 N* p6 _2 t; z) V

  Z. m; R- }4 ]! H' E同样的，我们也同样介绍了双边频谱：FFT的结果是一个双边频谱，他不仅仅包含了实数的频谱也包含了负频率的频谱。
  P) j) {! Q1 ~- x$ w
3 X3 f/ `& ?: C7 ~我们的采样长度为FFT_Lenth，同样的傅里叶变换的长度也是FFT_Lenth，而由于双边频谱的存在，我们的FFT结果数组长度是2*FFT_Lenth，并且通常直流信号会被统计两次。

& q9 a, Z! t2 k& y1 G) ~4 Z事实上对于我们的时域信号而言，我们采集到的数据仅仅只是实部信号（虚部信号之所以叫做虚部信号也正是因为在复平面上）。

* c7 m2 x& ~* N
% D4 ]0 M- u$ U$ }; W: U4 y
! ]; ^( l7 c1 q5 ?' h/ f# [在大名鼎鼎的火柴人数学中也体现了这一点。

) K7 P4 D2 |6 h6 Y9 a+ Y4 E

- b* q6 W# r8 B而真正的信号应该是一个在复平面上的合信号，但是对于我们而言虚数轴上并没有什么意义。
) R7 x/ p5 s2 T1 n7 m- F
  Z0 i! r* X+ R1 M5 h# F因此我们在计算FFT的时候也会主动的不向原始信号虚数轴上填充数据。

1.     for(int i=0; i < FFT_LENGTH; i++)
   2 C/ z+ K" l) W6 ^1 f9 v
2.     {
   ( h5 ^- e5 j* H; B0 E5 M
3.       FFT_InputBuf[2*i]=(ADC_1_Value_DMA )*3.3/4096; //实部
   ( }1 B! Q: H  }8 h
4.       FFT_InputBuf[2*i+1]=0;          //虚部
   : B. ~4 f) |; Y5 V
5.     }

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- Q% Z8 ^0 B6 H" d. ?# e但是，即便是我们主动的忽略了时域信号中的虚部，但是FFT的结果中依旧包含了负频率的双边频谱
  C1 j/ v- ^, T4 @; q" P9 C, S

0 r% Q- @6 t7 E  B! {
- G6 z4 d; y) d, r6 G, z  j因此，当我们利用得到频谱的时候，通常情况下只考虑他的单边频谱，而负频率通常是不考虑的。
* y2 N2 t$ f# Q7 t9 Z
好了，说了那么多我们还是聊聊我们接下去要干什么，FFT在STM32中的应用有许多文章都在对其进行介绍，但是几乎没有文章有介绍IFFT也就是傅里叶反变换。

+ m2 F4 P( q; P1 ^0 [6 ]0 e也对，通常我们知道的时域信号，我们通过傅里叶变换之后将其转换为频域信号，但是很少有知道频域的情况下对其进行傅里叶反变换，因为首先是应用场合比较少，其次是好像没什么必要。
: ~; L2 q' D3 Q; Q( ~5 C+ M. l0 f
但是如果我们可以实现傅里叶反变换，那能不能通过对其频率信息的修改，即修改频域的值，实现一种滤波效果。

假如我们的信号采样率为10KHZ即10240，而我们的FFT长度是1024，那么我们的输出数组结果所对应的频率差，即相邻两个数据对应的频率差为10240/1024 = 10HZ



那么例如我们将FFT的结果中前2*X项赋值为0(因为输出的结果中包含了一个实部数据和一个虚部数据)并且FFT_Lenth~FFT_Lenth*2的值均为负频率。

5 Y: n1 Y0 e' n" E$ O; t+ v这样子我们就可以实现一个X*10（频率差）的一个高通滤波器（低频段被删除了），之后我们通过傅里叶反变换实现还原原始信号。

+ z( l. D7 Z* U$ s这里需要注意的是，DSP库中没有给出IFFT的算法，因此我们选用最常见到的累加法求其IFFT的结果。

( K. ^# {- o, l$ D% |0 D7 [

1.     for (int i = 0; i < FFT_LENGTH; i++) {  
   ( _3 x4 t7 r1 q# A/ p' E9 @0 C/ @: j
2.     FFT_OutputBuf = 0.0f;   
   
3.     for (int k = 0; k < FFT_LENGTH; k++) {  
   
4.         // 累加复数乘法结果到原始信号  
   
5.         float32_t phase = -2.0f * 3.1415926 * i * k / FFT_LENGTH; // 计算相位  
   # k5 a/ _! z+ m. c( _
6.         float32_t real_part = cosf(phase) * FFT_InputBuf[2*k] + sinf(phase) * FFT_InputBuf[k*2+1];  
   * G  L5 g" \8 r
7.         //float32_t imag_part = -sinf(phase) * FFT_InputBuf[k*2+0] + cosf(phase) * FFT_InputBuf[k*2+1];虚部信号  
   % I! T* a  D4 S( z9 i  s% l+ F
8.         FFT_OutputBuf += real_part; // 只取实部累加，因为原始信号是实数  
   6 K1 Z$ h- o8 b7 |+ ^) v- N0 ]9 w
9.     }  
   0 j5 x! W- s; Z. F
10.   
    
11. }

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) h7 [! `. y/ c$ F9 ^这里不具体介绍原理，总之我们看看效果。
+ i& r7 [# B/ z7 s" \( x3 ]. T# A
, I, o1 F; f( M9 c: n/ h
将信号采集之后经过FFT变换之后再通过IFFT反变换为时域信号。

这里我们采集了3KHZ的信号并进行了还原，可以看到并没有什么失真。

3 N7 W0 E* ^/ j
2 y+ c. h: j. _( F1 \
3 s5 |& U+ y. X! b& s三角波的还原，可以看到似乎叠加了一个什么信号，但是不是很明显。
: H& D) {0 k/ A
9 r' D/ e, }3 L8 ^

+ O6 q# }" v( F7 B! i$ Q调制信号的还原，可以看到信号还原度还是非常高的。
+ ]5 d# e2 i) Z' f+ u5 o- q+ U
4 Y/ l2 H* m  \1 S- E

两个正弦波，100HZ+500HZ的累加信号，可以看到其还原度也是非常高的。
; n) W+ X* s0 I7 v+ m  p1 w1 \
( y2 J! M) H8 o# t. c在这里我们应用一下我们之前的方法，将某个频段的信号去除。


1 Y4 _# r* c7 i$ r" J6 s2 y
可以看到，我们非常轻松的从500HZ的信号中提取到了100HZ的信号。
3 }# x! O: L3 R8 g$ I4 q
0 a( ^  S% m8 `& _
: O9 ?% W- \% s. v$ s  F8 x! L
方波中提取其基波频率。
0 j6 f0 G$ t% ^' w( E/ A


) i5 u( T8 U$ g8 V+ m% M以及还有方波信号的 还原。

并且这个方法 的滤波精度相当之高。
: k' i5 U+ Z* ]  {" `* o
- i, K# E  _& |( d2 ]& f" @
  B2 }' Q$ J1 g9 W9 t  S' F' g
从一个900HZ叠加1000HZ的信号中将1000HZ的分量去掉。

- w8 L. `) E+ ~- ]1 M7 ?: X' ~& v
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