快速傅里叶变换（FFT）是一种数字信号处理中常用的技术，用于将快速序列转换为频域表示。在嵌入式系统中，如基于STM32的微控制器，实现FFT可以帮助解决信号处理的需求，例如声音处理、图像处理等。本文将介绍基于STM32的离散傅里叶变换的原理、实现方法和应用。


0 f) z0 Y, n8 u* W& h+ ?
FFT是一种将时域序列转换为频域表示的技术，它将一个序列的N个采样点映射到频域中N个频率分量。其数学表达式如下：

4 U$ b1 ~4 n6 X2 m; _/ j$ b& b
5 Q( n% p6 C% n* w
0 X! l1 p1 I9 W* S  |3 b  i其中，x(n) 是输入序列，X(k) 是输出的频域表示。

准备工作：



1 X; k+ B1 |8 ?; q- p& D3 h
/ J9 L7 O; _% ^4 |+ O! Q$ `

Keil中的DSP库（Digital Signal Processing Library，数字信号处理库）是针对ARM Cortex-M处理器系列的一组软件库，用于提供各种数字信号处理功能的支持。这些库提供了一系列优化过的算法，可以帮助开发人员在嵌入式系统中高效地实现音频处理、图像处理、通信系统等各种信号处理应用。

因此我们需要在Keil中安装我们的DSP库。

1. #include "arm_math.h" // 包含DSP库

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* P: C. U) j4 y( G7 x, B首先包含我们的DSP库。


( m: `3 j/ p1 [+ d

1. #define FFT_LENGTH 100
   
2. // 输入序列
   
3. float32_t inputSignal[FFT_LENGTH*2];
   
4. 
   ) T$ t8 \# j9 ~0 E/ E2 L0 r  ]- E
5. // 输出序列，存储变换后的结果
   # Z8 r$ D2 C- H5 {- |4 Q+ N
6. float32_t outputSignal[FFT_LENGTH];

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# w, d, R' [! \定义FFT的的输入和输出数组还有数组长度
; w, M' u( U8 @; ]

1. arm_status status;
   
2.     arm_cfft_radix4_instance_f32 fft_inst;
   
3.     status = arm_cfft_radix4_init_f32(&fft_inst, FFT_LENGTH,0,1);

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1. void arm_cfft_radix4_init_f32(
   
2.   arm_cfft_radix4_instance_f32 * S,
   
3.   uint16_t fftLen,
   
4.   uint8_t ifftFlag,
   5 d* g5 R  N8 S" ^
5.   uint8_t bitReverseFlag
   
6. );

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2 g, L6 \2 l* w( {6 Q定义一个状态变量用来显示FFT的初始化是否成功。
定义一个FFT的配置变量。
8 X4 n) A/ w0 I+ n! R, i5 C初始化FFT。
& ]! F: g- i' N  lS：指向 arm_cfft_radix4_instance_f32 结构体的指针，该结构体定义了 FFT 实例的状态信息。
5 c$ |9 n8 S- }- |0 m
fftLen：FFT 的长度。
$ ]7 u' g- h' @# X' x, l9 {3 @
ifftFlag：指定是否进行逆变换。如果为 1，则表示初始化的是逆变换的 FFT；如果为 0，则表示初始化的是正变换的 FFT。
: |# a" h) u; F" L4 [. m
bitReverseFlag：指定是否进行比特翻转。如果为 1，则表示进行比特翻转；如果为 0，则表示不进行比特翻转。
: w. D4 \2 v+ N! Y; g
& u' L' }: c: g* ~在FFT算法中，比特（bit）反转是一种关键的步骤，用于将输入数据重新排列为正确的顺序，以便在后续的计算中进行有效处理。
& g! P% m  F0 D
当进行快速傅立叶变换时，算法要求输入数据的顺序是按照特定的方式排列的。特别是在使用基于分治法的算法（如Cooley-Tukey算法）时，输入数据的顺序必须满足按照一定规律的排列。

在实际的FFT实现中，最常见的方式是通过比特反转来重新排列输入数据。比特反转就是将输入数据的比特位（二进制位）的顺序进行颠倒。这是因为在FFT算法中，数据会被分组，并按照一定规则进行反转，以便在每个阶段的运算中，数据可以正确地与其它组合进行配对。
1 E4 h' ~: ?8 T/ a" ^9 I' N
, g1 C4 b# m5 K8 b% ^* A7 f2 t9 ^  ~举个简单的例子，假设有一个长度为8的数据序列，按照0到7的顺序排列：
' C* x8 ^% R/ f# @, T% o0 F# N
& H7 U8 Q& {. y0 b5 Q2 }$ L0 1 2 3 4 5 6 7

在进行FFT时，需要按照一定规则重新排列这些数据。比特反转操作将会对这个数据序列进行如下的重新排列：
! N" W/ l/ B: j( [' c% N( U! `
/ F! [3 L' p( }( Q" {0 o( q( V0 4 2 6 1 5 3 7

8 Q1 N, h/ f' }7 n' C1 t在FFT算法的每个阶段中，这种重新排列都会使得数据正确地与其它组合进行配对，从而实现快速傅立叶变换的计算。

# C, H' `- Q% P进行FFT并转换为模值
4 L0 X9 }2 A5 B7 q  `3 K; s, |- Z

1. arm_cfft_radix4_f32(&fft_inst,inputSignal);          //FFT计算
   
2.     arm_cmplx_mag_f32(inputSignal,outputSignal,FFT_LENGTH);  //取模得幅值

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! E4 e2 x) C3 [1 g对输入数组进行FFT变换，并将FFT的结果转化为模值。
. R: x) y8 J/ q9 @  N$ d: X
/ N; l) J. E6 N7 u8 j1 P! V测试
我们进行一个简单的测试
# K/ |6 ~5 H0 Z

1. #define FFT_SIZE 1024
   $ r" F) ~' d; x
2. #define SAMPLE_RATE 1000
   ) R' |5 {1 V7 b* y* t
3. #define NUM_SAMPLES 1000
   
4. #define FREQ_OF_INTEREST 100
   
5. for (int i = 0; i < NUM_SAMPLES; i++) {
   6 A4 J) S& |  ~9 D
6.         float32_t t = (float32_t)i / SAMPLE_RATE;
   4 Q0 u3 u6 ]9 I0 I( z% [3 }
7.         float32_t sin_value = sinf(2 * PI * FREQ_OF_INTEREST * t); // 计算正弦波值
   
8.         inputSignal[i * 2] = sin_value; // 实部
   
9.         inputSignal[i * 2 + 1] = 0; // 虚部
     c  _- J& {; R1 p
10.     }

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一千个点的采样值，频率假设为100HZ作为输入信号。
; f6 Q$ `+ x) K9 z* H

1. for (int i = 0; i < FFT_SIZE; i++) {
   % |* h4 i2 u2 \
2.         // 计算复数的模值
   
3.         float32_t real = inputSignal[2 * i];
   + {3 i  \2 C" s! `+ o0 v
4.         float32_t imag = inputSignal[2 * i + 1];
   
5.         float32_t magnitude = sqrtf(real * real + imag * imag);
   + _; u3 m2 c3 I2 V* x
6.         
   
7.         // 打印每个频率分量的模值
   1 C3 K, H4 T% y+ a. C" Z, j
8.         printf("Magnitude: %f\n", magnitude);
   
9.     }

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进行傅里叶变换后打印模值。
2 O8 K. T; L( e4 k! \% U. @
9 i/ I3 l: i0 T& M' G5 m9 c1 }4 B/ I+ X
1 f( [4 X' T5 ^; v2 h( i
1 I1 J4 M( [- M可以看到傅里叶变换执行成功。
# x5 q2 H* M" Z! y' B- F6 c

1. for (int i = 0; i < NUM_SAMPLES; i++) {
   
2.         float32_t t = (float32_t)i / SAMPLE_RATE;
   6 q1 l. [" R  O+ G
3.         float32_t sin_value = sinf(2 * PI * FREQ_OF_INTEREST * t)+sinf(2 * PI * FREQ_OF_INTEREST * t*2)+sinf(3*2 * PI * FREQ_OF_INTEREST * t); // 计算正弦波值
   9 O4 s! l( j; k# K
4.         inputSignal[i * 2] = sin_value; // 实部
   
5.         inputSignal[i * 2 + 1] = 0; // 虚部
   6 W2 j+ D* B5 f2 d* g+ c! L
6.     }

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- u: |; x3 T8 Q; Y* o) m我们将信号制作成100HZ+200HZ+300HZ的信号。
# s* G6 D) X0 F$ O3 d& c
3 r. B6 n- A. z2 r) K7 ]+ {: C

4 a0 {: q7 u  O& x, q

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这个FFT不错，学习参考一下